Densité et distributions de ces solutions CONNUES numériquement ou analytiquement de Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

Nous savons que la conjecture sur l'hypothèse de Riemann concerne les zéros non triviaux $$(1/2 + r i)$$ pour certains $r \in \mathbb{R}$ de la fonction zêta de Riemann.

Ma question est de savoir ce que l'on sait sur la densité et les distributions de ces solutions CONNUES numériquement ou analytiquement de$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

J'ai trouvé un article lié mais c'était il y a environ 8 ans, alors peut-être avons-nous une meilleure mise à jour?

Densité moyenne des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann

Answer 1

À mon humble avis, un article clé est celui publié l'année $2014$par G.Franca et A.LeClair . En particulier, ils fournissent une très bonne et simple approximation (équation$(229)$ dans l'article lié). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ où $W(.)$ est la fonction de Lambert;

Répéter certains de leurs calculs pour $n=10^k$, nous avons $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Mathematica 8.0.1 dérivation de l'approximation d'Eric Weisstein pour les points de Gram:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Modifié Mathematica 8.0.1 dérivation de l'approximation d'Eric Weisstein donnant des points de Franca-LeClair:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

La difficulté fondamentale pour obtenir une asymptotique précise pour les zéros zêta de Riemann est que la fonction thêta de Riemann-Siegel n'est pas inversible. Les réponses des utilisateurs m'ont fait remarquer que l'asymptotique exacte pour les zéros de Riemann zêta est connue depuis environ 120 ans et que l'asymptotique exacte est l'inverse fonctionnel de la fonction thêta de Riemann-Siegel, selon la Wikipedia française.