Je pense que la réponse est

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Preuve

Supposons que nous écrivions notre numéro d'origine comme $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Alors l'équation décrite dans le problème est $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Réorganiser donne $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ ce qui signifie que $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Notez maintenant que le côté gauche est divisible par $19$ donc le côté droit doit être aussi mais depuis $a_0$ est le coprime de $19$, cela signifie que $10^n - 2$ est divisible par $19$. Par conséquent, nous recherchons la plus petite puissance de$10$ qui est congru à $2$ modulo $19$.

En passant par les pouvoirs de$10$ modulo $19$ donne $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Par conséquent, la plus petite puissance de$10$ qui fonctionne est $10^{17}$. Brancher cela dans notre équation donne$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Clairement, nous ne pouvons pas choisir $a_0=1$ car le côté droit aura trop peu de chiffres, mais si nous choisissons $a_0=2$ (pour atteindre le minimum) alors il semble sûr que nous aurons un $17$-digit number sur le côté droit et nous pouvons simplement choisir le reste de la $a_j$convenablement à gauche.

Cela signifie que le plus petit$N$ quels travaux doivent être $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Vérification informatique

Travailler avec un ordinateur, il semble que la valeur pour $N$ ci-dessus est $105263157894736842$ et doubler cela donne $210526315789473684$ donc cela fonctionne vraiment.

Déplacement d'un chiffre de droite à gauche

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