Dérivée temporelle de la cartographie $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - générateur infinitésimal

Question

Quelqu'un peut-il expliquer l'équation $1$ dans ce https://math.stackexchange.com/a/697412/767953sous une forme plus simple? Aussi je ne peux pas comprendre comment à partir de l'équation$1$ on peut voir ça $u$ est la solution de l'équation de la chaleur.

Answer 1

Allusion

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ à 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Je vous laisse justifier chaque égalité comme un devoir. Pour votre autre question, on peut prouver que le générateur infinitésimal du mouvement brownien s'il est donné par$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Faites-le comme un devoir si ce n'est pas clair pour vous.