Déterminer tous les nombres complexes qui satisfont aux conditions -$|z|=2$ $\space$et$\space$Je suis$(z^6)=8$Je suis$(z^3)$

Question

Déterminer tous les nombres complexes$z$qui satisfont aux conditions suivantes :

$|z|=2$ $\space$et$\space$Je suis$(z^6)=8$Je suis$(z^3)$

j'ai d'abord calculé$z^3$et$z^6$.

$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$

$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$

$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$

Ensuite, je mets des parties imaginaires dans l'équation Im$(z^6)=8$Je suis$(z^3)$et a suivi

$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$

$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$(*)

$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$(1)

de$|z|=2$suit$\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$(2)

après avoir mis (2) dans (1) j'ai eu

$x^3-3x=1$

et alors$x=2\cos\varphi$

équation$8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$peut être transformé en

$2\cos3\varphi=1$(Je l'ai obtenu avec l'aide de l'identité de$\cos {3x}$)

et alors

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$

$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$,$\space$ $k \in \mathbb{Z}$

La solution écrite différemment est

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$

Conformément aux expressions (*)$3x^2-y^2$sont rayés. Nous devons inclure cela

$3x^2-y^2=0$

$3x^2-(4-x^2)=0$

$4x^2=4$

$x^2=1$

$(2\cos\varphi)^2=1$

$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$

Après résolution de cette équation on obtient

$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

Solution de mon manuel:

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.

Quelqu'un peut-il m'aider à trouver une erreur?

Si vous trouvez une erreur, n'hésitez pas à modifier. Sur l'image ci-dessous se trouvent les 10 solutions.

Answer 1

Il est plus court à résoudre avec la forme exponentielle de$z$: puisque son module est$2$, nous pouvons écrire$\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. et l'équation sur les parties imaginaires devient$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$d'où cette simple équation trigonométrique standard$\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Ses solutions sont$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$Une forme abrégée des solutions dans$\theta$serait$$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$

Answer 2

Sans perte de généralité, on peut réduire les équations à$$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$

A partir de là, nous pouvons dire que lorsque$z=\omega_i$(où$\omega_i$sont les racines cubiques de l'unité), les équations seront certainement vraies.

Ensuite, utilisez les développements polynomiaux pour$z^6 $et$z^3$considérant$z=x+i y$qui résout efficacement$$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$à condition que$$x^2+y^2=1$$qui est un cercle unité.

Vous pouvez accéder au graphique suivant ici

Les intersections du graphique noir avec le cercle rouge et les points bleus avec des coordonnées étiquetées sont les solutions requises.