Diagrammes de nœuds non alternés
Commencez par une courbe fermée et auto-sécante, où chaque croisement est transversal. Maintenant, formez quelque chose comme l'opposé d'un diagramme de nœuds alternés comme suit. Partant de n'importe où, traversez la courbe, et à chaque croisement non visité auparavant, passez au-dessus/au-dessus. Si le passage à niveau a déjà été visité, laissez la désignation de passage assignée.
Deux exemples sont présentés ci-dessous. (a) est clairement le dénouement. (b) est aussi le dénouement, peut-être pas aussi manifestement.
Le cercle rouge indique le point de départ, la flèche le sens de déplacement.
Je m'attendais à ce que ces diagrammes représentent évidemment le dénouement, mais je ne vois pas de preuve claire. Alors:
Q. _ Prouver (ou réfuter) qu'un tel diagramme de nœuds représente toujours le dénouement.
Réponses
Un diagramme tel que vous le décrivez est appelé un diagramme descendant et aboutit en effet toujours au nœud trivial. Pour une preuve, voir le lemme 3.2.10 dehttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. La réponse précédente a la bonne idée.
C'est toujours le dénouement. J'ai été initié à cela par mon conseiller mais je ne pense pas que ce soit à l'origine son argument non plus, donc je ne sais pas qui a fait cela en premier.
Pour le voir, nous utiliserons le fait que le numéro de pont d'un nœud est un ssi le nœud est le dénoué.
Dessinez votre projection du nœud et choisissez votre point de départ. Nous ferons de cette projection un diagramme en ne faisant que des croisements lorsque nous traversons la projection. Si la projection est dessinée dans le$x,y$avion où$z=0$, nous pouvons créer un nœud dans$\mathbb{R}^3$en faisant chaque$i$-ième nouveau croisement auquel nous arrivons au niveau$z=i$. Ainsi, lorsque nous avons rencontré tous les croisements dans la projection et que nous sommes sur le point de revenir au premier croisement, notre nœud dans l'espace 3 doit retomber d'un niveau élevé.$z$valeur de retour à$z=0$.
Ce que nous avons est une fonction de hauteur où le nœud est strictement croissant partout sauf le petit segment entre le dernier croisement et le premier croisement. Ainsi, il y a un maximum et un minimum et donc un pont numéro 1 nœud, le dénouement.
Je ne sais pas à quel point c'est utile, car je ne suis pas un expert, mais voici une idée qui pourrait être juste.
Tout d'abord, introduisez la troisième dimension, perpendiculaire à votre dessin, et assurez-vous que le point "initial" est une projection d'un segment allant droit "vers le haut". Ensuite, il doit être possible de placer le reste du nœud de manière à ce que, tout en longeant la ligne, vous ne descendiez que vers le bas. Imaginez un pêle-mêle (avec un escalier presque vertical qui monte), et vous aurez une bonne idée de ce que je veux dire. Maintenant, c'est un peu ondulé, mais je pense que vous pouvez simplement attribuer des hauteurs fixes à chacune des intersections, au fur et à mesure que vous les traversez en "descendant", puis étendez-vous à tous les autres points du nœud. (Exemple si la partie "escalier" monte de hauteur$0$à$1$, pour$n$intersections, comme vous les traversez deux fois, vous pouvez réserver les hauteurs$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$pour les points "d'intersection" sur le nœud.)
Le reste devrait être le simple calcul pour montrer que ce nœud peut être déformé en unknot. Si l'équation du nœud d'origine (la partie "glissière") est paramétrée comme$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, avec$\rho(0)=\rho(1)=0$, puis le déformer, pour$\lambda\in[0,1]$dans$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$donne le nœud d'origine, tandis que$\lambda=0$donne un nœud évident dans$x-z$avion.