Difficulté à comprendre les déclarations utilisant la conséquence sémantique malgré la connaissance de la définition
Je sais que la conséquence sémantique signifie que toutes les déclarations de gauche peuvent toutes être vraies (sont satisfaisables) si le côté droit est vrai. Si le côté droit est faux, les déclarations de gauche ne peuvent pas toutes être vraies.
Il y a quelques déclarations qui me posent problème.
La première: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Si je commence par la gauche de l'iff, les déclarations ont toutes un sens.
Le problème, c'est quand je commence par le côté droit de l'iff et $\Gamma$ est vrai, $\phi$ est faux, et $\psi$est vrai. C'est une déclaration légitime, mais cela prouve que toute la déclaration est fausse.
La deuxième: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$pourrait être vrai bien que le côté gauche soit faux. Je pensais que c'était impossible.
Le troisième:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Si $\Delta$ est insatiable et $\phi$ est vrai, la partie if est vraie et la partie alors est fausse.
Je ne comprends sûrement pas quelque chose si je continue à rencontrer ce problème.
Réponses
Je sais que la conséquence sémantique signifie que toutes les déclarations de gauche peuvent toutes être vraies (sont satisfaisables) si le côté droit est vrai.
Non, ce n'est pas ce que cela signifie. C'est exactement l'inverse: le côté droit est vrai si toutes les déclarations du côté gauche sont vraies. Iow, la définition de la conséquence sémantique est que sous une interprétation donnée, soit le RHS est vrai, soit au moins une déclaration sur le LHS est fausse. Il n'est pas nécessaire que le LHS soit vrai si le RHS l'est!
Peut-être est-il plus facile de le voir par le négatif: la seule chose qui ne doit pas se produire est que toutes les déclarations sur la LHS soient vraies mais que la RHS est fausse de manière simulée. Si, selon une certaine interprétation, le RHS est vrai mais pas le LHS, c'est bien. Cela signifie en particulier que si le LHS ne peut jamais être vrai de manière simulatée (= n'est pas satisfaisable), alors il ne peut y avoir une telle contre-interprétation, et la conséquence tient dans le vide.
(Voir également la note sur la (non) satisfiabilité dans le dernier paragraphe; votre utilisation ici suggère un malentendu de ce que cela signifie.)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Si je commence par la gauche de l'iff, les déclarations ont toutes un sens.
Le problème, c'est quand je commence par le côté droit de l'iff et $\Gamma$ est vrai, $\phi$ est faux, et $\psi$est vrai. C'est une déclaration légitime, mais cela prouve que toute la déclaration est fausse.
Vous avez mal interprété la structure de la déclaration. Vous regardez une affectation concrète de valeurs de vérité et essayez de faire ressortir à partir de cette interprétation si les conséquences sémantiques à gauche et à droite sont valables. Mais ce n'est pas ce qu'il dit: la déclaration se traduit par
[Sous toutes les interprétations, l'une ou l'autre des déclarations $\Gamma, \phi$ est faux ou $\psi$est vrai]
ssi
[Sous toutes les interprétations, l'une ou l'autre des déclarations$\Gamma$ est faux ou $\phi \to \psi$ est vrai].
Autrement dit, nous devons d'abord examiner toutes les interprétations pour déterminer si les conséquences sémantiques sont valables, puis évaluer le «si et seulement si». En regardant juste un cas où$\Gamma$ est vrai, $\phi$ faux et $\psi$ true ne nous permet pas de tirer une conclusion quant à savoir si l'un ou l'autre côté du «sf» est valable.
La deuxième: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$pourrait être vrai bien que le côté gauche soit faux. Je pensais que c'était impossible.
Voir ci-dessus: c'est l'inverse; il est seulement nécessaire qu'il ne soit pas possible que le RHS soit faux alors que le LHS est vrai. Et cela ne peut jamais être le cas si le LHS ne peut devenir vrai sous aucune interprétation en premier lieu, ce qui est le cas pour$\bot$, donc la conséquence tient dans le vide.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Si $\Delta$ est insatiable et $\phi$ est vrai, la partie if est vraie et la partie alors est fausse.
Vous pouvez arrêter de lire après "Si $\Delta$ est insatisfiable »: alors aucune des LHS ne peut jamais devenir vraie, donc les deux conséquences sont vides, et le« si alors »est satisfait.
Et juste pour clarifier la terminologie: "$\Delta$ satisfiable / insatisfiable "signifie qu'il est possible / impossible que toutes ses déclarations deviennent simultanément vraies sous quelque interprétation que ce soit, c'est-à-dire $\Delta$n'est pas contradictoire / contradictoire. Si c'est juste le cas sous une interprétation particulière que toutes / pas toutes les déclarations$\Delta$ sont vrais, alors on ne dit pas ça $\Delta$est satisfaisable / insatisfiable, mais juste vrai / faux. Il en va de même pour les formules simples:$\phi$ est vrai / faux dans une interprétation particulière, et satisfiable / insatisfiable s'il y a au moins une / aucune interprétation sous laquelle il est vrai.
Un modèle de $\Gamma$ dans lequel $\phi$ est faux ne dit rien sur la déclaration $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: cette déclaration dit simplement que$\psi$ est vrai dans tous les modèles de $\Gamma$ et $\phi$, ce qui est bien le cas si $\phi\to\psi$ est vrai dans tous les modèles de $\Gamma$.