Dois-je analyser la séquence donnée par $ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}$ sans équation avec $0$?
J'ai un problème avec les exercices avec des séquences données par récursivité quand j'ai besoin de "prouver la convergence et trouver la limite si elle existe" et on me donne une récursion de ce genre:
$$ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}, x_1 \in (0 ; \infty)$$
Il est assez facile de trouver la limite - je suppose simplement que la limite existe dans $ \mathbb{R}$ puis utilisez les propriétés arithmétiques des limites: $$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = l, l \in \mathbb{R}>0$$
Prenant ma récursivité: $$l = \frac{1}{2 + l}$$ $$l^2 +2l - 1 = 0$$ $$l_1 = \sqrt{2} - 1 \in D$$ $$l_2 = -1 - \sqrt{2} \notin D$$
Donc ma seule limite possible $ \mathbb{R}$ est $l = \sqrt{2} - 1$. C'est si je peux réellement prouver que la limite existe - c'est-à-dire: la séquence est monotone et bornée. Et voici mon problème - il est tout simplement impossible d'analyser sans ordinateur la différence de:
$$x_{1+n} - x_{n} = \frac{1}{2 + x_{n}} - x_{n}$$
À la recherche de limites, je multiplie simplement les deux côtés de l'équation par $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = l$ et il est impossible de le faire ici, alors j'obtiens: $$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$$
Alors je ne peux pas dire quand c'est plus grand que $0$ d'analyser la monotonie et je ne peux pas voir pour quelles valeurs o $n$ quelles valeurs de $n+1$ je reçois (pour obtenir la limite) parce que la valeur min devient folle.
Alors j'ai juste voulu demander - est-ce que je manque quelque chose? Est-il possible de faire ici$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$ une égalité avec $0$ et analyser une fonction plus simple (une rouge sur l'image)?
Réponses
C'est une transformation Möbius . Une fois que tu as les racines$l_1, l_2$ de la fonction caractéristique $l^2+2l-1=0$, il s'ensuit que $1-2l_1=l_1^2$ et $1-2l_2=l_2^2$. ensuite
$$ x_{n+1}-l_1 = \frac{1}{2+x_n}-l_1 = \frac{1-2l_1-l_1 x_n}{2+x_n} = \frac{l_1^2-l_1 x_n}{2+x_n} = -l_1 \frac{x_n-l_1}{2+x_n} \tag 1 $$
De même $$ x_{n+1}-l_2 = -l_2 \frac{x_n-l_2}{2+x_n} \tag 2 $$
$(1) \div (2)$ (vous pouvez le faire parce que $x_n>0>l_2$), $$ \frac{x_{n+1}-l_1}{x_{n+1}-l_2} = \frac{l_1}{l_2}\cdot \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} $$
Par conséquent $\frac{x_n-l_1}{x_n-l_2}$ est une suite géométrique,
$$ \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} = \left(\frac{l_1}{l_2} \right)^{n-1} \cdot \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2} \tag3 $$
ensuite $$x_n=\frac{l_1-\frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left( \frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \cdot l_2}{1- \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1}}$$
Comme $n\to \infty, \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \to 0, x_n \to l_1 = \sqrt 2 - 1$.
Pour résoudre à l'aide de matrices, voir ici un exemple.
$$X_{n+1}=\frac{1}{2+X_n} \implies 2 X_{n+1}+X_{n+1}X_n=1$$ Laisser $X_n=\frac{Y_{n-1}}{Y_n}$, puis $$2 \frac{Y_{n}}{Y_{n+1}}+\frac{Y_n}{Y_{n+1}}\frac{Y_{n-1}}{Y_n}=1 \implies 2Y_n+Y_{n-1}=Y_{n+1}.$$ Laisser $Y_n=t \implies t^2-2t-1=0 \implies t=1\pm \sqrt{2}.$ Donc $$Y_n=p(1+\sqrt{2})^n+q (1-\sqrt{2})^{n} $$ $$\implies X_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}+r(1-\sqrt{2})^{n-1}}{(1+\sqrt{2})^{n}+r(1-\sqrt{2})^{n}}, r=q/p.$$ $$\lim_{n \to \infty}X_{\infty}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$
Bien que $x_1$ peut être n'importe quel nombre positif, tous les termes commençant par $x_2$ sont inférieurs à $\frac 12$, donc ne peut pas être loin de votre limite. Une approche qui peut être utile consiste à écrire un terme comme limite plus un terme d'erreur, alors laissez ici$x_i=\sqrt 2-1+\epsilon$ ensuite $$x_{i+1}=\frac 1{2+x_i}=\frac 1{1+\sqrt 2 + \epsilon}\\ x_{i+1}=\frac{\sqrt 2-1}{1+(\sqrt 2-1)\epsilon}\\ x_{i+1}\approx (\sqrt 2-1)-(\sqrt 2-1)^2\epsilon$$ où j'ai utilisé l'approximation du premier ordre pour $\frac 1{1+\epsilon}$. Nous voyons de là que l'erreur est diminuée d'un facteur d'environ$6$à chaque étape, donc la séquence convergera. Pour être plus formel, vous pouvez lier l'erreur d'en haut en utilisant le fait que$x_i \in (0,\frac 12)$. Vous n'obtiendrez pas une diminution aussi rapide, mais tout facteur inférieur à$1$ est assez bon.