Donné positif $x,y$ tel que $x > y$ et $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, trouver le minimum $(x+y)$

Question

On me donne des nombres positifs $x, y$ tel que $x > y$ et $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. J'ai besoin de trouver la valeur minimale de$(x+y)$. Voici mon essai. En utilisant l'inégalité AM-GM pour les nombres non négatifs, j'ai

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Donc, j'ai pu arriver à cette conclusion. Mais je suis coincé ici. De l'aide ?

Merci

Answer 1

Par AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ qui donne $$x+y\geq4.$$ L'égalité se produit pour $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ et $4xy=(x-y)^2,$ qui donne $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ ce qui dit que nous avons une valeur minimale.

Answer 2

mettre $x=r^2{cos}^2a$ et $y=r^2{sin}^2a$ aussi laisser $a$ appartenir à $[0,\frac{\pi}{2}]$

nous devons donc trouver la valeur maximale de $r^2$

brancher les valeurs dans l'équation donnée et simplifier à l'aide des formules trigonométriques de base que nous avons $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ ou

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

Indice: mettre $x=\alpha \cosh^2(x)$ et $y=\alpha\sinh^2(x)$ la condition devient:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

L'expression est:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

En le résolvant, nous avons trouvé $x+y\geq 4$.

Answer 4

Allusion.

Fabrication

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

nous avons

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

alors

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

etc.

Answer 5

Donné $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

laisser $yx=c$ , où $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Laisser une fonction $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$être défini. ensuite$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ à une constante $x$ nous donne $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ ( en utilisant $[1]$). Alors,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

quand $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ Comme indiqué.