$\ell^1$ foncteur en tant qu'adjoint gauche du foncteur de boule d'unité
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https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi note que "Le $\ell^1$ functor est le foncteur d'espace libre de Banach, adjoint à gauche du foncteur de boule d'unité oublieuse ".
Cette déclaration m'intrigue, mais je ne suis pas tout à fait sûr de savoir de quelles catégories et foncteurs Yemon parle ici. J'imagine que nous avons la catégorie des espaces de Banach (avec quelles cartes?) D'un côté, mais qu'en est-il de l'autre? Si quelqu'un peut remplir les détails ici, je serais très heureux. De plus, si quelqu'un a des références à un texte d'analyse fonctionnelle qui adopte cette perspective, je serais également satisfait de cette réponse.
Réponses
Vous voulez prendre la catégorie $\text{Ban}_1$des espaces de Banach et des cartes courtes (cartes linéaires de norme opérateur$\le 1$). Le foncteur de boule d'unité$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ est représenté par $\mathbb{C}$, et son adjoint de gauche envoie un ensemble $S$ au coproduit de $S$ copies de $\mathbb{C}$, qui s'avère être $\ell^1(S)$. Cela dit que nous avons une bijection naturelle
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
qui dit qu'une carte d'un ensemble $S$ à la balle unitaire $U(B)$ d'un espace Banach s'étend de manière unique et libre sur une courte carte $\ell^1(S) \to B$, par «linéarité».
Intuitivement parlant, cela dit que $\ell^1(S)$ est obtenu à partir de $S$ en exigeant que chaque élément de $S$ avoir la norme $1$ (afin qu'il soit dans la boule unitaire et puisse mapper brièvement sur n'importe quel autre élément de n'importe quelle autre boule unitaire) et ensuite demander qu'une combinaison linéaire $\sum c_s s$avoir la plus grande norme possible compatible avec ceci (de sorte qu'elle puisse être mappée rapidement à toute autre combinaison linéaire de ce type dans n'importe quel autre espace de Banach). On a$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ par l'inégalité triangulaire et la $\ell^1$ la norme en est le cas d’égalité.
Cette construction se généralise à la construction du coproduit en $\text{Ban}_1$, qui ressemble à ceci: si $B_i$ est une collection d'espaces Banach, leur coproduit en $\text{Ban}_1$ est la complétion de la somme directe de l'espace vectoriel $\bigoplus_i B_i$ en ce qui concerne le "$\ell^1$ norme" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Toutes mes excuses pour l'auto-promotion, mais j'entre un peu plus en détail sur les propriétés catégoriques $\text{Ban}_1$(par exemple, il est complet, cocomplet et monoïdal symétrique fermé) dans mon article de blog Espaces Banach (et métriques Lawvere, et catégories fermées) . En particulier, j'essaie de motiver l'utilisation de cartes courtes. Notez que si nous ne travaillons qu'avec des cartes linéaires bornées, nous ne pouvons pas espérer récupérer un espace de Banach jusqu'à l'isométrie via une propriété universelle, alors que les isomorphismes en$\text{Ban}_1$sont isométriques. En revanche, le langage catégorique est toujours capable de parler de cartes bornées, via la structure fermée.
Soit Bang (Ban, géométrique) la catégorie dont les objets sont des espaces de Banach et dont les morphismes sont les cartes linéaires qui ont la norme $\leq 1$. (Nous pouvons travailler sur des scalaires réels ou complexes.) Soit Set la catégorie dont les objets sont des ensembles et dont les morphismes sont des fonctions.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Il y a un foncteur $\Ball$de Bang à Set qui attribue à chaque espace de Banach sa boule d'unité fermée; la condition sur les morphismes de Bang assure que chaque$f:X\to Y$ in Bang se limite à une fonction $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Que serait un adjoint de gauche à $\Ball$ressembler? Nous pouvons utiliser la description / caractérisation en termes d'objets initiaux dans des catégories de virgules. Donc pour chaque ensemble$S$ nous voulons un espace Banach $F(S)$ et une fonction $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ avec la propriété universelle suivante: à chaque fois $E$ est un espace Banach et $h:S\to \Ball(E)$ est une fonction, il y a un Bang-morphisme unique $T: F(S)\to \Ball(E)$ tel que $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ en tant que fonctions.
Démêler les définitions des différents morphismes: ce dont nous avons besoin, c'est que pour toute fonction $h$ de $S$ à $E$ satisfaisant $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ pour tous $j\in S$, il devrait y avoir une carte linéaire unique $T: F(S) \to E$ tel que $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ pour tous $v\in F(S)$ et $T(\eta_S(j))=h(j)$ pour tous $j\in S$.
Après avoir essayé de motiver les choses, faisons l' Ansatz . Définir$F(S)$ être l'espace Banach $\ell_1(S)$ avec sa norme habituelle $\Vert\quad\Vert_1$; laisser$(e_j)_{j\in S}$ désignent les becteurs de base canoniques dans $\ell_1(S)$. Le seul candidat possible pour la carte linéaire$T:\ell_1(S) \to E$ est: définir $T(e_j):= h(j)$ pour chaque $j$, et s'étendent par linéarité et continuité. Pour voir que cela fonctionne, observez que pour tout$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ on a
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
En résumé: ce que dit l'argument ci-dessus est essentiellement qu'une carte linéaire bornée de $\ell_1(S)$ dans un espace Banach $E$ définit une fonction bornée $S\to E$, et inversement toute fonction bornée $S\to E$ a une extension linéaire limitée unique $\ell_1(S)\to E$. (Notez que ce paragraphe, qui est énoncé en langage analyste plutôt qu'en langage catégoriste, est un peu plus général car je n'exige pas que tout ait une norme$\leq 1$; mais se limiter à Bang semble essentiel si l'on veut obtenir un bel énoncé de ce fait d'analyse dans le langage des adjonctions.)
En fait on peut aller plus loin et dire que l'isomorphisme d'adjonction $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, qui a priori n'est qu'une bijection d'ensembles à comportement naturel, peut s'enrichir d'un isomorphisme dans Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Ceci est l' exercice 20 , à la page 167 en cours et les exercices sur l' analyse fonctionnelle par Helemskii .
Une discussion plus approfondie est menée par Jiří Rosický dans Les espaces de Banach sont-ils monadiques? , arXiv: 2011.07543 .