endomorphisme linéaire entre$V$et double de$V$

Question

Laisser$V$être un espace vectoriel de dimension finie sur un corps$K$.$V^*=\{l:V\to K\}$.

Prouver$\operatorname{End}(V)$linéaire isomorphe à$\operatorname{End}(V^*)$.

Ma tentative : puisque pour l'espace vectoriel de dimension finie$\dim V^*=\dim V$

donc ils sont linéairement isomorphes par$\psi:V\to V^*$.

Donc élément donné$T\in \operatorname{End}(V)$nous pouvons trouver$\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$est facile de vérifier qu'il s'agit d'un endomorphisme linéaire.

Et la carte est sur car pour tout$\hat{T}$nous pouvons construire$T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. C'est injectif puisque$\hat{T} = 0$implique$T = 0$est la carte zéro, donc elle a un noyau trivial.

Enfin il faut montrer$\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$est également linéaire. c'est à dire$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$par définition de$\hat{T}$ça tiens.

Ma preuve est-elle correcte ?

Answer 1

Votre preuve est correcte. Cependant, il existe un autre isomorphisme d'espace vectoriel entre$\operatorname{End}(V)$et$\operatorname{End}(V^*)$qui ne nécessite pas d'isomorphisme$V \rightarrow V^*$. A savoir, la carte$A \in \operatorname{End}(V)$à$A^* \in \operatorname{End}(V^*)$en définissant$(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Ici,$ x\in V$et$\phi \in V^*$.

Answer 2

Vous souhaitez cartographier$T\colon V\to V$à une carte linéaire$V^*\to V^*$et il existe un moyen évident de le faire, à savoir cartographier$T$à sa transposition$T^*$. Cependant, cela définit un antiisomorphisme , car$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Vous obtenez un isomorphisme en utilisant cela, quand$\dim V=n$, vous obtenez$V\cong M_n(K)$(l'anneau de$n\times n$matrices) via le choix d'une base. La transitivité de l'isomorphisme se termine.