Ensemble de solutions de $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [fermé]

Question

Ok les gens, $\Im$stupide. J'y travaille depuis 2 jours, mais je ne comprends toujours pas.

Voici la question: $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$Quelle est la solution proposée? [La réponse est$(0,\infty)$]

J'ai trouvé les premiers moyens d'inégalité $x > 0$ et le second dit $x > -2$ mais cela ne rend pas la solution donnée par mon conférencier qui est $(0,\infty)$.

Answer 1

Le problème avec votre raisonnement est que lorsque vous multipliez par un nombre négatif, le signe de l'inégalité change. Par conséquent, il n'est pas vrai que$x > 0$pour tout vrai $x$, mais seulement quand $x + 2 > 0$.

Pour la première partie, je vous recommande de scinder en cas. Quand$x + 2 > 0$, vous obtenez $x > 0$. Mais quand$x + 2 < 0$, puis multiplier par $x+2$ des deux côtés donne:

$$x \color{red}{<} x+2 $$

ce qui est vrai pour tous $x$dans l'état. Par conséquent, les valeurs possibles de$x$ sont $x > 0, x < -2$.

Pour la deuxième partie, $-\frac{1}{x+2} < 0$est correct pour que vous puissiez continuer. De là, multipliez par$-1$ obtenir:

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

et utilisez maintenant une méthode similaire pour trouver les valeurs possibles de $x$.

Answer 2

La meilleure façon de résoudre ce genre d'inégalités n'est pas de se scinder en différents cas mais de $\underline{\text{combine the fractions}}$.

Pour votre première inégalité: $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

Pour votre deuxième inégalité: $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

Combinez (1) et (2) vous obtenez $x>0$.

Pour un autre exemple, voir Résolution des inégalités de base

Answer 3

ok alors considérons d'abord la première inégalité: $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ pour que cela soit vrai non plus $x>0$ donc le haut et le bas sont tous les deux positifs, ou nous pouvons avoir $x<-2$ et donc la solution de cette inégalité serait $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$.

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Maintenant pour la seconde: $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ et il en ressort clairement que la solution est $x>-2$ et donc: $x\in(-2,\infty)$. Maintenant, pour que les deux soient simultanément vrais, nous devons trouver où ces domaines se chevauchent, ce qui serait$x\in(0,\infty)$