Espaces de couverture normaux - définitions équivalentes pour les espaces connectés
Un espace de couverture $p: Y \to X$est normal quand pour tous$ x \in X$ et pour tous $x_1', x_2' \in p^{-1}(x)$ il y a une transformation de deck $\phi$ avec $x_2' = \phi(x_1')$.
On me demande de montrer que quand $X$est connectée , alors cette condition équivaut à dire qu'il en existe une$x_0 \in X$ pour que pour tous $x_1', x_2' \in p^{-1}(x_0)$, il existe une transformation de deck prenant $x_1'$ à $x_2'$. Une direction est facile, l'autre avec laquelle j'ai du mal.
J'ai pensé à définir le décor $A$ être l'ensemble des points dans $X$pour lequel il existe des points dans sa fibre qui ne sont pas mappés pour enseigner les autres par une transformation de deck. Si je peux montrer ça$A$est à la fois ouvert et fermé, alors j'aurai terminé. Cependant, je ne sais pas comment montrer cela. Est-ce la bonne approche, et si oui, comment dois-je continuer?
Réponses
Dis ça $x\in X$ a la propriété $(\star)$ si chaque fois $y_1,y_2\in p^{-1}(x)$ il y a une transformation de deck $\phi:Y\rightarrow Y$ avec $\phi(y_1)=y_2$.
Supposer $x_0\in X$ a $(\star)$. Puis n'importe quel point$x$ contenu dans un quartier $U\subseteq X$ de $x_0$ par-dessus lequel $p$ est trivial a aussi $(\star)$. Si$V\subset X$ est un deuxième sous-ensemble ouvert de $X$ par-dessus lequel $p$ est trivial et $U\cap V\neq\emptyset$, alors il y a un point $x\in V\cap U\subseteq V$ avec $(\star)$, donc par ce qui précède tous les points de $V$ avoir $(\star)$.
Supposons maintenant que $U_1,\dots, U_n\subseteq X$ est une chaîne finie de sous-ensembles ouverts tels que $1)$ $x_0\in U_1$, $2)$ $U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset$ pour chaque $i=1,\dots,{n-1}$, $3)$ $p$ est trivialisable sur chaque $U_i$. En s'inspirant de l'observation précédente, nous voyons que chaque point de chaque$U_i$ a $(\star)$, et en particulier chaque point de $U_n$ a $(\star)$.
L'idée de base est évidente. Pour terminer, nous devons montrer comment deux points de$X$ peut être rejoint par une chaîne finie d'ensembles ouverts banalisants lorsqu'il est connecté.
Pour les détails laissez $\mathcal{U}$ être une couverture ouverte de $X$. Pour$V\in\mathcal{U}$ mettre $$\mathcal{U}(V)=\{W\in\mathcal{U}\mid \exists\, U_1,\dots,U_n\in\mathcal{U},\, V\cap U_1\neq\emptyset,\;W\cap U_n\neq\emptyset,\;U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset,\;\forall i=1,\dots,n-1\}$$ et écris $\widetilde V=\bigcup_{U\in\mathcal{U}(V)}U$. Notez que si$V_1,V_2\in\mathcal{U}$, puis $\widetilde V_1\cap\widetilde V_2\neq\emptyset$ si et seulement si $\mathcal{U}(V_1)=\mathcal{U}(V_2)$ si et seulement si $\widetilde V_1=\widetilde V_2$. Donc$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ est une couverture de $X$ par des ensembles clopen disjoints par paires.
Supposons enfin que $X$est connecté. Nous prenons$\mathcal{U}$ être une couverture de $X$ par des ensembles ouverts qui banalisent $p$. L'argument ci-dessus montre que$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ contient l'ensemble unique $X$. Ainsi, deux points quelconques de$X$ sont reliés par une chaîne finie d'ensembles dans $\mathcal{U}$. En revenant aux paragraphes ouverts, nous voyons que si un point$x_0\in X$ a la propriété $(\star)$, il en va de même pour tous les autres points.
Votre approche est correcte, mais pour autant que je sache, vous avez besoin d'hypothèses supplémentaires sur $X$.
Appel $x \in X$un point normal de$p$ si pour tous $y_1, y_2 \in p^{-1}(x)$ il y a une transformation de deck $\phi$ avec $y_2 = \phi(y_1)$. Prouvons d'abord ce qui suit
Lemme. Laisser$U$être un sous-ensemble ouvert connecté uniformément couvert de$X$. Si quelques$\xi \in U$ est un point normal de $p$, Alors tout $x \in U$ sont des points normaux de $p$.
$p^{-1}(U)$ est l'union disjointe de open $V_\alpha \subset Y$ qui sont mappés par $p$ homéomorphique sur $U$ ("décomposition en feuille de $p^{-1}(U)$"). Le $V_\alpha$ sont les composants connectés de $p^{-1}(U)$. Laisser$x \in U$ et $y_i \in p^{-1}(x)$. Il y a des$\alpha_i$ tel que $y_i \in V_{\alpha_i}$. Laisser$\eta_i \in p^{-1}(\xi)$ être le point unique contenu dans $V_{\alpha_i}$. Il existe une transformation de deck$\phi$ tel que $\eta_2 = \phi(\eta_1)$. L'ensemble$\phi(V_{\alpha_1})$ est un composant connecté de $p^{-1}(U)$ tel que $\eta_2 = \phi(\eta_1) \in \phi(V_{\alpha_1})$. Donc$\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. Par conséquent$y_2 = \phi(y_1)$.
Pourquoi avons-nous besoin de la connectivité de $U$? Dans le cas non connecté, la décomposition en feuille de$p^{-1}(U)$n'est pas unique (voir Couvrir les projections: que sont les feuilles sur un ensemble uniformément couvert? ), donc la décomposition des feuilles$\{\phi(V_\alpha) \}$ de $p^{-1}(U)$ peut différer de $\{V_\alpha \}$ et nous ne pouvons pas conclure que $\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. Par conséquent, nous ne pouvons pas être sûrs que$y_2 = \phi(y_1)$. Bien sûr, il peut exister une transformation de deck$\phi'$ tel que $y_2 = \phi'(y_1)$, mais il n'y a pas de stratégie générale pour le trouver (et peut-être $\phi$).
Vous pourriez dire que $p^{-1}(U) \approx U \times F$ avec un discret $F$, donc certainement tous $x \in U$ sont des points normaux du revêtement trivial $p_U : p^{-1}(U) \to U$. C'est pour tous$x \in U$ et tout $y_i \in p^{-1}(x)$ il existe une transformation de deck $\phi_U$ pour $p_U$ avec $y_2 = \phi_U(y_1)$. Mais il n'y a aucune raison de supposer que$\phi_U$ s'étend à la transformation de deck pour $p$.
Supposons maintenant que $X$est connecté localement .
Laisser $N$ dénotent l'ensemble des points normaux de $p$. Depuis chaque$x \in X$ a un voisinage ouvert connecté uniformément couvert, le lemme ci-dessus montre que $N$ et $X \setminus N$ sont ouverts dans $X$. Donc$N = X$.