Est $(4+\sqrt{5})$ un idéal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Nov 26 2020

Considérez le domaine intégral $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Est$(4+\sqrt{5})$ un idéal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Je connais les faits élémentaires suivants. Nous avons \ begin {équation} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ left \ {\ frac {m + n \ sqrt {5}} { 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {sont tous les deux pairs ou tous les deux impairs} \ right \}. \ end {équation}

Pour chaque $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, définissez sa norme comme d'habitude: \ begin {équation} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {equation} Depuis$m, n$sont tous les deux pairs ou impairs, il est facile de voir que la norme est un entier. De ce fait, on voit facilement que$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ est une unité de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ si et seulement si $m^2 - 5n^2=4$ ou $m^2 - 5n^2=-4$. Maintenant depuis$N(4+\sqrt{5})=11$ nous l'obtenons facilement $4+\sqrt{5}$ est un élément irréductible de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Si$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ étaient un domaine de factorisation unique, nous pourrions conclure que $(4+\sqrt{5})$ un idéal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Mais je ne sais pas si$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$est un domaine de factorisation unique. Est-ce que quelqu'un sait si c'est le cas?

Merci d'avance pour votre attention.

Réponses

3 BartMichels Nov 26 2020 at 16:36

Appel $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. Nous pouvons montrer que$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, pour que l'idéal $(4 + \sqrt 5)$ est maximal.

  1. Comme $N(4 + \sqrt 5) = 11$, il est clair que les éléments $0, 1, \ldots, 10$ sont modulo incongruent par paire $4 + \sqrt 5$.

  2. Chaque élément de $A$ est congruente à un entier modulo $4 + \sqrt 5$: en effet, s'il est de la forme $a + b \sqrt 5$ avec $a, b \in \mathbb Z$ nous pouvons soustraire un multiple entier convenable de $4 + \sqrt5$ atterrir dans $\mathbb Z$. Si c'est de la forme$(a+b\sqrt5)/2$ avec $a, b$ bizarre, on peut soustraire $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ atterrir dans $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.

Considérez l'homomorphisme en anneau $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$Par la première observation, elle est injective. Par la seconde, c'est surjectif.

3 DietrichBurde Nov 26 2020 at 16:23

Le champ numérique $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ a la classe numéro un parce que sa borne de Minkowski satisfait $B_K<2$. D'où son anneau d'entiers$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ est même un PID et donc un UFD.

Par contre, il suffit de voir que $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ est un champ, de sorte que l'idéal $(4+\sqrt{5})$ est primordial.

2 RicardoBuring Nov 26 2020 at 16:26

Oui, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$est un UFD car il est normo-euclidien .