Est-ce que chaque monoïde sans annulation peut être intégré dans un groupe?

Dec 04 2020

Un monoïde est sans inversible si$xy=1$ implique $x=y=1$ pour tous $x,y$.

Question: Est-ce que chaque monoïde sans annulation peut être intégré dans un groupe?

Je suis assez sûr qu'un quotient du produit libre d'un tel monoïde avec son miroir (c'est le monoïde avec les mêmes éléments et identité mais multiplication inversée, c'est à dire $x\cdot y=yx$) est le groupe "le plus général" dans lequel il peut être intégré.

C'est la version non commutative de la construction des entiers à partir des nombres naturels.

Cela apparaît-il quelque part dans la littérature comme un problème / une proposition / un théorème?

Réponses

5 MarkSapir Dec 05 2020 at 08:44

Non, ce n'est pas vrai même pour les monoïdes finis. Prenez n'importe quel semi-groupe$S$qui est annulable et ne s'intègre pas dans un groupe (les premiers exemples ont été construits par Malcev). Considérez le monoïde$S^1$ lequel est $S\sqcup\{1\}$ avec $1$ a (nouveau si $S$est un élément neutre monoïde. Puis$S^1$est un monoïde sans inversible qui ne s'intègre pas dans un groupe. C'est annulable ssi$S$ n'a pas d'élément neutre.