Est$f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$différentiable à$(0,0)$? [dupliquer]

Question

La fonction suivante est-elle différentiable en$(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

J'ai trouvé que les deux dérivées partielles sont$0$, puis j'ai essayé de calculer la limite suivante :

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

Et puis je suis resté coincé. J'ai essayé le théorème de compression, mais je ne pouvais toujours pas le calculer.

Comment puis-je calculer cette limite ?

Answer 1

Ce n'est même pas continu à$(0,0)$. Indice: $f(y^3,y)=\dfrac12$si$y\ne0$.

Answer 2

Rappelons que la continuité est une condition nécessaire à la différentiabilité puisque la différentiabilité implique la continuité et par$y^3=v \to 0$en utilisant les coordonnées polaires, nous avons

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$