Est-il possible d'avoir un précommande avec différents types de morphismes?
Je suis un non mathématicien, assez nouveau dans la théorie des catégories et aurais la question suivante:
Est-il possible d'avoir un précommande avec différents types de morphismes? Chaque paire entre chaque objet n'a encore qu'un seul morphisme. Cependant le morphisme en question est toujours différent (sauf le morphisme identitaire).
Un exemple informel: à la suite de David Spivaks [1], l'approche Olog imagine un chien affamé qui mange toujours la nourriture achetée par son propriétaire.
Supposons trois objets: un propriétaire de chien O, un chien D et de la nourriture pour chien F. Supposons également quatre morphismes: "possède", "mange", "achète" (abréviation de "achète de la nourriture pour chien" qui est la seule chose qu'il achète) et " est".
Chacun des objets est lui-même, il y a donc un morphisme «est» de chaque objet à lui-même. En conséquence, D "possède" O, O "mange" F, et D "achète" F. Finalement, le chien a toujours faim par définition et mange toute la nourriture qui lui est donnée donc il devrait tenir que
"possède" o "mange" = "achète".
La question dans ce cas: serait-ce une précommande? Il remplit tous les critères d'une catégorie: les morphismes d'identité et la compositionnalité sont donnés. Suivant [2], il remplit également les critères d'un pré-ordre selon lequel «un proset est une catégorie mince (stricte): une catégorie stricte telle que pour toute paire d'objets x, y, il y a au plus un morphisme de x à y. "
Cependant, je n'ai rien vu de similaire dans aucun des exemples habituels: ⊆ et ≤ sont les exemples habituels de précommandes et sont les seuls morphismes appliqués aux objets de la catégorie.
Meilleures salutations Pavel
PS: Je ne pourrais pas trouver d'exemple plus "formel" qui pourrait être un indicateur que je suis sur la mauvaise voie.
SOURCES:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: Un cadre catégorique pour la représentation des connaissances" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Réponses
Oui, c'est une précommande. L'une des idées clés de la théorie des catégories est que souvent, les propriétés abstraites des objets (et les morphismes entre eux) sont plus importantes que leurs descriptions concrètes. Comme vous l'avez souligné, la catégorie que vous avez décrite ne "ressemble pas à une précommande", car les morphismes ne sont pas nommés comme$\subseteq$ ou $\leq$. Mais la théorie des catégories ne se soucie pas des noms. Votre catégorie satisfait à la définition d'un précommande, donc par exemple si vous aviez un théorème de fantaisie sur les précommandes, il serait parfaitement valable de l'appliquer à cette catégorie.
La reponse courte est oui. Les noms / significations des morphismes ne font pas partie des données: ce qui est important, c'est la composition des morphismes. N'oubliez pas que définir une catégorie, c'est spécifier l'ensemble des objets et l'ensemble des morphismes (ainsi que les identités et la composition). (Il se peut que$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ n'est pas, à proprement parler, un ensemble bien formé, car a priori les éléments n'ont pas été définis, bien qu'en général il est inoffensif de le considérer comme un ensemble, car prendre n'importe quel ensemble de cardinalité 3 conviendra.) Vous devriez donc n'hésitez pas à étiqueter les morphismes comme vous le souhaitez: si vous oubliez les noms, et considérez simplement le graphique sous-jacent avec la structure de composition, vous verrez que vous avez exactement un précommande.