Est-il possible de trouver un entier (non carré) qui soit un résidu quadratique modulo une liste infinie donnée de nombres premiers ?

Aug 17 2020

Je me demande si c'est possible, étant donné un premier p et une liste infinie de nombres premiers$q_1$,$q_2$, ... pour trouver un entier d qui (1) n'est pas un carré mod p, mais (2) est un carré mod$q_i$pour tout moi. Toujours Parfois Jamais? Probablement parfois --- quelles sont certaines conditions ? Dans l'application que j'ai en tête, le$q_i$sont tous les diviseurs premiers des nombres$p^{2^n}-1$comme n varie de 1 à l'infini, mais c'est quelque peu flexible.

(L'application, soit dit en passant, consiste à prendre une interpolation p-adique de l'exponentiation d'entiers rationnels et à l'étendre à des anneaux d'entiers dans des tours de corps de nombres.)

[ETA : j'ai oublié de mentionner que d devrait également être un carré mod 8 pour l'application, ce qui exclut la réponse de -1 donnée ci-dessous.]

  • Pour une liste finie, d peut être construit en utilisant le théorème du reste chinois, mais cela ne semble pas aider ici.

  • Étant donné d, la réciprocité quadratique donne un ensemble infini de nombres premiers pour lesquels d est un carré, mais j'ai besoin des nombres premiers spécifiés en premier.

  • Grunwald-Wang dit, si je comprends bien, que la condition (1) implique que d n'est pas un carré modulo$q$pour une infinité de nombres premiers$q$, mais ne dit rien sur les nombres premiers dont d est un carré.

  • Le théorème de densité de Chebotarov semble impliquer que l'ensemble des d possibles a une densité nulle, mais n'exclut pas (ou n'implique pas) qu'un tel d existe.

Merci pour toute aide, source ou conseil !

----Josh

Réponses

5 AaronMeyerowitz Aug 17 2020 at 10:06

Cela dépend de la liste de nombres premiers donnée. Une condition plus simple mais nécessaire est qu'il y ait un$d$de sorte que tous les nombres premiers de la liste (supérieurs à$d$) sont concentrés dans quelques classes de congruence$\bmod 4d.$Nous pouvons nous en tenir aux diviseurs premiers impairs puisque tout est un résidu quadratique$\bmod 2.$

Si la liste est tous premiers congrus à$1 \bmod 4$alors$-1$est un résidu quadratique commun. Cela ne semble probablement pas très excitant.

Si la liste est composée de tous les diviseurs premiers impairs de$3^{2^n}-1$comme$n$se situe sur les entiers positifs alors$-1$est à nouveau un résidu quadratique commun. C'est le genre de chose que vous mentionniez. Mais la raison en est que tous ces nombres premiers sont$1 \bmod 4$

Si je ne me trompe pas, et pour la même raison,$-1$est un résidu quadratique commun des diviseurs premiers de$p^{2^n}-1$comme$n$s'étend sur les nombres entiers à partir de$2.$

Pour certains nombres premiers, comme$5,7,17,19,31,53,59$nous pouvons étendre la liste à tous les diviseurs premiers de$p^{2^n}-1$à l'exception de$3.$En général, il suffit de rejeter tous les diviseurs de$p^2-1$qui sont$3 \bmod 4.$

Les faits derrière cela sont

  • $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
  • chaque facteur impair de$p^{2^m}+1$est de la forme$2^{m+1}q+1$
  • $-1$est un résidu quadratique pour les nombres premiers qui sont$1 \bmod 4.$

Réfléchissez d'abord à cette question (facile). Pour fixe$d$quels sont les nombres premiers impairs$q$tel que$d$est un résidu quadratique$\bmod q?$Appelez cet ensemble$G_d.$Nous pouvons supposer que$d$est sans carré.

Ensuite, les membres de$G_d$sont les diviseurs premiers de$d$avec ces nombres premiers dans une union de certaines classes de congruence$\bmod 4d.$La moitié des cours$(r \bmod 4d)$avec$\gcd(r,4d)=1$

Dans certains cas ($d$même ou$d$impaire avec tous les diviseurs$1 \bmod 4$) il suffit de considérer les classes de congruence$\bmod 2d$. Cependant ce qui est écrit reste correct. je vais ignorer votre$p$en supposant que le but était d'exclure$d$étant un carré.

Ensuite le spécifique$d$fonctionne pour une instance particulière de votre problème, précisément si la liste choisie est l'un des innombrables sous-ensembles infinis de$G_d.$

D'autre part, supposons qu'il soit donné que les membres de la liste (autres que les diviseurs de$d$dans la liste, le cas échéant) sont choisis parmi$k \ll \phi(d)$des classes de congruence$\bmod 4d$. Ensuite, si le$k$sont choisis au hasard, la chance que$d$fonctionnera est inférieur à$2^{-k}$.

Donc partir d'une liste$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$la première question est "Y a-t-il une raison de soupçonner qu'il y a un$M$afin que tous les membres de$\mathbf{q}$(premier à$M$) sont concentrés dans quelques-unes des classes de congruence$\bmod M?$" Si cela ne se produit pas, alors il n'y a aucun espoir. Si cela se produit pendant un certain$M,$alors les chances peuvent encore être faibles.

Cela dépend donc beaucoup de l'endroit où$\mathbf{q}$vient de.

Soit dit en passant, le problème de trouver un$d$qui est un non-résidu quadratique relatif à tout$q \in \mathbf{q},$est tout aussi difficile.