Est-il possible de trouver un entier (non carré) qui soit un résidu quadratique modulo une liste infinie donnée de nombres premiers ?
Je me demande si c'est possible, étant donné un premier p et une liste infinie de nombres premiers$q_1$,$q_2$, ... pour trouver un entier d qui (1) n'est pas un carré mod p, mais (2) est un carré mod$q_i$pour tout moi. Toujours Parfois Jamais? Probablement parfois --- quelles sont certaines conditions ? Dans l'application que j'ai en tête, le$q_i$sont tous les diviseurs premiers des nombres$p^{2^n}-1$comme n varie de 1 à l'infini, mais c'est quelque peu flexible.
(L'application, soit dit en passant, consiste à prendre une interpolation p-adique de l'exponentiation d'entiers rationnels et à l'étendre à des anneaux d'entiers dans des tours de corps de nombres.)
[ETA : j'ai oublié de mentionner que d devrait également être un carré mod 8 pour l'application, ce qui exclut la réponse de -1 donnée ci-dessous.]
Pour une liste finie, d peut être construit en utilisant le théorème du reste chinois, mais cela ne semble pas aider ici.
Étant donné d, la réciprocité quadratique donne un ensemble infini de nombres premiers pour lesquels d est un carré, mais j'ai besoin des nombres premiers spécifiés en premier.
Grunwald-Wang dit, si je comprends bien, que la condition (1) implique que d n'est pas un carré modulo$q$pour une infinité de nombres premiers$q$, mais ne dit rien sur les nombres premiers dont d est un carré.
Le théorème de densité de Chebotarov semble impliquer que l'ensemble des d possibles a une densité nulle, mais n'exclut pas (ou n'implique pas) qu'un tel d existe.
Merci pour toute aide, source ou conseil !
----Josh
Réponses
Cela dépend de la liste de nombres premiers donnée. Une condition plus simple mais nécessaire est qu'il y ait un$d$de sorte que tous les nombres premiers de la liste (supérieurs à$d$) sont concentrés dans quelques classes de congruence$\bmod 4d.$Nous pouvons nous en tenir aux diviseurs premiers impairs puisque tout est un résidu quadratique$\bmod 2.$
Si la liste est tous premiers congrus à$1 \bmod 4$alors$-1$est un résidu quadratique commun. Cela ne semble probablement pas très excitant.
Si la liste est composée de tous les diviseurs premiers impairs de$3^{2^n}-1$comme$n$se situe sur les entiers positifs alors$-1$est à nouveau un résidu quadratique commun. C'est le genre de chose que vous mentionniez. Mais la raison en est que tous ces nombres premiers sont$1 \bmod 4$
Si je ne me trompe pas, et pour la même raison,$-1$est un résidu quadratique commun des diviseurs premiers de$p^{2^n}-1$comme$n$s'étend sur les nombres entiers à partir de$2.$
Pour certains nombres premiers, comme$5,7,17,19,31,53,59$nous pouvons étendre la liste à tous les diviseurs premiers de$p^{2^n}-1$à l'exception de$3.$En général, il suffit de rejeter tous les diviseurs de$p^2-1$qui sont$3 \bmod 4.$
Les faits derrière cela sont
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- chaque facteur impair de$p^{2^m}+1$est de la forme$2^{m+1}q+1$
- $-1$est un résidu quadratique pour les nombres premiers qui sont$1 \bmod 4.$
Réfléchissez d'abord à cette question (facile). Pour fixe$d$quels sont les nombres premiers impairs$q$tel que$d$est un résidu quadratique$\bmod q?$Appelez cet ensemble$G_d.$Nous pouvons supposer que$d$est sans carré.
Ensuite, les membres de$G_d$sont les diviseurs premiers de$d$avec ces nombres premiers dans une union de certaines classes de congruence$\bmod 4d.$La moitié des cours$(r \bmod 4d)$avec$\gcd(r,4d)=1$
Dans certains cas ($d$même ou$d$impaire avec tous les diviseurs$1 \bmod 4$) il suffit de considérer les classes de congruence$\bmod 2d$. Cependant ce qui est écrit reste correct. je vais ignorer votre$p$en supposant que le but était d'exclure$d$étant un carré.
Ensuite le spécifique$d$fonctionne pour une instance particulière de votre problème, précisément si la liste choisie est l'un des innombrables sous-ensembles infinis de$G_d.$
D'autre part, supposons qu'il soit donné que les membres de la liste (autres que les diviseurs de$d$dans la liste, le cas échéant) sont choisis parmi$k \ll \phi(d)$des classes de congruence$\bmod 4d$. Ensuite, si le$k$sont choisis au hasard, la chance que$d$fonctionnera est inférieur à$2^{-k}$.
Donc partir d'une liste$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$la première question est "Y a-t-il une raison de soupçonner qu'il y a un$M$afin que tous les membres de$\mathbf{q}$(premier à$M$) sont concentrés dans quelques-unes des classes de congruence$\bmod M?$" Si cela ne se produit pas, alors il n'y a aucun espoir. Si cela se produit pendant un certain$M,$alors les chances peuvent encore être faibles.
Cela dépend donc beaucoup de l'endroit où$\mathbf{q}$vient de.
Soit dit en passant, le problème de trouver un$d$qui est un non-résidu quadratique relatif à tout$q \in \mathbf{q},$est tout aussi difficile.