Étant donné les variables aléatoires iid $\{X_n\}$avec un second moment fini. Prouver $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$
Étant donné les variables aléatoires iid $\{X_n\}$avec un second moment fini. Comment prouver$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?
J'ai essayé l'inégalité de Chebyshev:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$mais cela n'a pas fonctionné parce que nous n'avons qu'un moment fini de second ordre . Y a-t-il des inégalités plus délicates que celles de Chebyshev?
Réponses
$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ où $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. Utilisez le fait que$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ depuis les événements $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ diminuer jusqu'à vide et $E|X_1|^{2} <\infty$.
Je prouverai le lemme suivant dont découlera votre réponse.
Laisser $X$ être une variable aléatoire à valeur réelle non négative telle que $\mathbb E(X)<\infty$. ensuite$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ Preuve: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.
Depuis $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ comme $n\uparrow \infty$ et toutes les variables aléatoires sont non négatives, d'après le théorème de convergence monotone, nous avons $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$Il s'ensuit donc que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ Depuis $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, on a $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$Utilisez le théorème de Sandwich pour conclure. Enfin, dans votre problème, regardez$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$