Étant donné une équation de courbure, comment trouver la famille d'équations paramétriques qui correspondent?
J'ai vu quelques questions et réponses ici pour des cas particuliers sur la recherche des équations paramétriques pour une courbure donnée. Par exemple; Trouvez l'équation paramétrique pour une courbe avec une courbure donnée . Cependant, j'ai bien peur de ne pas comprendre le processus général. Quelqu'un pourrait-il me guider tout au long du processus?
Je me soucie des équations paramétriques de la forme
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
D'où avoir signé la courbure
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Ma question est
Étant donné l'équation pour $\kappa(s)$, comment trouvez-vous la famille de solutions pour $\gamma(s)$?
Je suppose qu'il existe une courbe unique qui satisfait $\kappa(s)$, bien que la solution finale ait trois constantes, $x_0$, $y_0$, et $\theta$, qui codera une translation et une rotation arbitraires (ou certains équivalents) d'une telle courbe, car, intuitivement, la courbure ne se soucie pas de la translation ou de la rotation de la courbe entière.
Pour terminer, je suis simplement un étudiant de premier cycle trop optimiste et, en tant que tel, je n'ai traité que des équations différentielles de premier ordre et n'ai qu'une courbure autodidacte. Quoi qu'il en soit, je comprends conceptuellement chacun. En tant que tel, j'apprécierais une réponse à peu près sur mon niveau de compréhension.
Réponses
Il y a non seulement une rotation et une translation arbitraires, mais aussi une réflexion et un paramétrage de la courbe. Donc, tout d'abord, prenons le paramétrage standard de la longueur d'arc dans lequel la définition de la courbure devient$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ où $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ est le vecteur tangent et $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$est «le» vecteur normal. Ce dernier n'est défini que jusqu'à un signe, il faut donc en choisir un arbitrairement. Cela fixe le caractère de la courbe, c'est-à-dire la réflexion.
L'équation différentielle à résoudre est donc $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ En tant qu'équation du second ordre, cela devrait donner quatre constantes d'intégration, mais il y a la contrainte de longueur d'arc $(x')^2+(y')^2=1$, il ne reste donc en fait que trois constantes: deux pour les traductions et une pour la rotation.
Comme je l'ai dit "je n'ai traité que des équations différentielles de premier ordre" , donc cette réponse à ma propre question pourrait être remplie de défauts, mais c'est (je crois) la forme générale que je recherchais. Un grand merci à Chrystomath pour la perspicacité.
Si $(x')^2+(y')^2=1$, puis
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Également, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Laisser $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Avec une logique similaire, suit
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Par conséquent, l'équation paramétrique peut être trouvée (échange conventionnel $\sin$ et $\cos$) être
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Et voici, comme prophétisé par Chrystomath: trois constantes (deux pour la translation et une pour la rotation), et les réflexions (indiquées par $\pm$)!