État à deux qubits + canal dépolarisant = état diagonal de la cloche?

Question

Dans plusieurs sources, par exemple RGK , KGR , il est indiqué (sans preuve) que si vous prenez n'importe quel état à deux qubits et que vous l'envoyez à travers un canal dépolarisant, l'état résultant serait un état en diagonale de Bell . Je comprends qu'un état bipartite en diagonale de Bell$\rho_{AB}$ a la forme:

$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ où $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$sont les états habituels de Bell. L'action d'un canal dépolarisant$\mathcal{E}$ sur deux qubits est défini comme:

$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ où $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$sont les opérateurs Pauli. Cependant, je ne vois pas pourquoi N'IMPORTE QUEL opérateur de densité bipartite serait transformé en un état diagonal de Bell. Y a-t-il une preuve de cette réclamation?

Answer 1

Tout d'abord, notez que chaque état de Bell $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ est un état propre de $E_i\otimes E_i$ pour tous $i$ (les valeurs propres sont soit $\pm 1$). Par conséquent, un état de Bell-diagonal reste Bell-diagonal sous l'action de la carte. Cela suggère déjà qu'un état en diagonale de Bell est susceptible d'être la destination ultime de la carte, mais prouvons cela.

Considérons un état arbitraire $|\Psi\rangle$. Cela peut être décomposé dans la base de Bell,$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ On a $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ et $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. Donc, par exemple, si je calcule$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ alors cela supprime tous les termes croisés tels que $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$

De même, $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ et $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$, donc des termes tels que $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$sera également éliminé. En fin de compte, les seuls termes qui restent sont$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$, c'est-à-dire que l'état est en diagonale de Bell.

Strictement, pour bien mettre tout cela ensemble, vous voulez dire $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ et $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ deux voient comment les deux étapes séparées que j'ai faites s'emboîtent.