Évaluer $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
J'essaye d'évaluer l'intégrale suivante: $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ où $\zeta >0$est un nombre réel positif. Puisque la primitive de cette fonction est juste en termes d'intégrale exponentielle, j'ai décidé d'opter pour une approche différente.
Ma tentative
J'ai fait ce qui suit $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ Pour ensuite vérifier si ma procédure était correcte, j'ai utilisé WolframAlpha pour évaluer les deux côtés de l'équation pour la valeur $\zeta = 1$. D'ici j'ai ça$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$Je ne sais pas où j'ai commis mon erreur. Je pense qu'interchanger l'intégrale et la somme est justifiée puisque je crois que la somme converge absolument, mais maintenant je n'en suis pas si sûr.
Quelqu'un pourrait-il me dire où est mon erreur? Ou bien quelqu'un pourrait-il me dire comment je pourrais évaluer cette intégrale? Je vous remercie!
Edit: Grâce aux commentaires, je crois que je peux simplifier l'intégrale pour être$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ Je ne sais pas si l'approche que j'ai adoptée était un bon moyen de le montrer, mais si quelqu'un a des idées sur la façon dont je pourrais peut-être arriver ici, je les apprécierais grandement!
Réponses
Après avoir joué avec l'intégrale pendant un certain temps, je pense avoir trouvé un moyen de résoudre l'intégrale et de l'obtenir en termes de $\text{Si}(\zeta)$.
Disons que nous définissons $F(\zeta)$ comme $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ Ici nous remarquons que $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. Maintenant, à partir de là, nous pouvons ensuite analyser la dérivée de$F$ comme suit: \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}rappelant que l'on peut mettre la dérivée comme partielle à l'intérieur de l'intégrale à cause de la règle intégrale de Leibniz. D'autre part, par le théorème fondamental du calcul, nous pouvons facilement voir que$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ Et depuis que nous avons trouvé $2$ fonctions avec le même dérivé, nous savons qu'elles doivent être les mêmes jusqu'à une constante, ou en d'autres termes $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ Mais en rappelant la condition initiale que nous avions, nous pouvons résoudre la valeur de la constante comme suit $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ et ainsi nous obtenons le résultat final étant $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
Je pense que cette solution est valable pour tout $\zeta \in \mathbb{R}$, ce qui signifie que je pourrais généraliser le problème d'origine à plus que de simples valeurs positives. Je crois que je n'ai manqué aucun détail cette fois, mais si c'est le cas, faites-le moi savoir!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$est la fonction intégrale sinusoïdale .