Exemple de $f \in K[x]$ résoluble par radicaux mais ayant une racine inexprimable uniquement par des coefficients de $f$ et +, -, *, /, $\sqrt[n]{…}$
Remarque: à première vue, cela peut sembler être un double de Exemple de$f \in K[x]$ solvable par radicaux mais ayant une racine qui ne peut être exprimée en utilisant uniquement des coefficients de $f$, $+,-,\cdot,\frac{..}{..}$mais ce n'est pas. J'ai fait oublier dans cette question - j'ai oublié de préciser$\sqrt[n]{...}$ comme opération que nous pouvons utiliser dans une expression.
Les définitions ci-dessous sont tirées de Solvabilité par radicaux implique une formule radicale pour ses racines (question d'Eparoh):
Définition 1 : On dit qu'une extension de champ$F/K$ est une extension radicale si l'on peut former une chaîne de champs $$K=K_0 \leq K_1 \leq \cdots \leq K_n=F$$ où $K_{i+1}/K_i$ est une simple extension telle que $K_{i+1}=K_i(a_i)$ et $a_i^{k_i} \in K_i$ pour un entier positif $k_i$.
Définition 2 : Let$K$ être un champ et $f(x) \in K[x]$, on dit que $f$ est résoluble par radicaux s'il existe une extension radicalaire $F/K$ tel que $F$ contient un champ de fractionnement de $f$ plus de $K$.
Cette question n'a pas de réponse, mais elle a un commentaire de reuns:
Les formules radicales des racines dépendent des constantes de $K$, une fois le polynôme fixé c'est tout ce que nous voulons (il existe des algorithmes pour le champ de division des polynômes minimaux et du groupe de Galois, s'il est résoluble on peut dérouler pour trouver les formules radicales). Ce que vous demandez, c'est s'il existe un nombre fini de formules radicales$F_{d,l}$ de $d+1$ variables telles que pour chaque polynôme résoluble $∑_{j=0}^{d} c_j x_j \in K[x]$ de diplôme $d$ ses racines sont données par $F_{d,l}(c_0,…,c_d)$ pour certains $l$. C'est le problème de l'espace des modules / paramétrisation des polynômes solubles de degré$d$.
Laisser $K$être un champ. Pouvez-vous donner un exemple de$f \in K[x]$ qui peut être résolu par des radicaux mais ne peut être exprimé en utilisant uniquement des coefficients polynomiaux, $+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ et opérations de prise de racines de ($N_+$) diplômes et preuve de ce fait?
Si je comprends bien le commentaire que j'ai cité ci-dessus, de tels polynômes et racines existent. Je pose cette question après une longue quête de la réponse à exactement la question posée dans l'article lié. Je ne sais pas où chercher des exemples de tels polynômes et racines dans la littérature. Trouver la réponse à la question initiale était en soi difficile. J'ai essayé de chercher sur Google "espace des modules / paramétrisation des polynômes solubles" en ayant juste peu d'espoir qu'il renverra des informations pertinentes au problème posé, mais pas de chance (comme on pouvait bien sûr s'y attendre car ce n'est pas quelque chose de directement lié).
Je dois dire que je ne comprends pas exactement le commentaire cité, mais je pense que je vais poser une autre question pour dissiper mes doutes.
Edit 1: J'ai ajouté ceci car il semble que les réponses font une hypothèse implicite qui est exactement le point de ma question. Ce que je demande, c'est s'il existe un exemple de$f \in K[x]$qui peut être résolu par des radicaux mais ne peut être exprimé en utilisant UNIQUEMENT des coefficients polynomiaux ,$+,−,\cdot,$ et opérations de prise de racines de ($N_+$) degrés. Autrement dit, il n'est pas permis d'utiliser ces membres de K qui ne sont pas exprimables sous cette forme . La question dont j'ai tiré des définitions pose une question très similaire, mais ce n'est pas la même chose car elle ne demande pas un exemple aussi spécifique. Je ne comprends pas exactement le commentaire de reuns et j'ai des doutes quant à son exactitude (voir les questions dont j'ai tiré des définitions, je pense que ce sera bénéfique pour cette discussion). Mais si je comprends bien, cela dit que si les hypothèses que j'ai énumérées sont satisfaites, il est toujours possible d'exprimer des racines en utilisant uniquement des membres de K ,$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ et opérations de prise de racines de ($N_+$) degrés, mais pas nécessairement uniquement des coefficients polynomiaux ,$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ et opérations de prise de racines de ($N_+$) degrés.
Réponses
Je pense que c'est plus une confusion de langage et rien d'autre. Si$f(x) \in K[x] $ est un polynôme spécifique alors les coefficients de $f$ ne sont que des membres spécifiques de $K$.
Et puis si vous avez une formule pour les racines de $f$ qui implique une combinaison de certains membres de $K$ avec des opérations comme $+, -, \times, /, \sqrt[n] {. } $ puis les coefficients de $f$ eux-mêmes étant membres de $K$ne peut pas être localisé visuellement dans la formule. Tout membre de$K$ peut par exemple être facilement écrit comme une combinaison d'un nombre donné de membres de $K$ en utilisant uniquement les opérations sur le terrain.
Vous essayez peut-être de penser à un exemple où les coefficients sont des littéraux comme dans le cas de $x^2+ax+b$ et $K=\mathbb{Q} $, mais encore une fois, c'est faux. Dans ce cas, le champ doit être$K=\mathbb{C} (a, b) $.
Supposons alors que nous ayons un polynôme littéral $$f(x)= x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$$ sur le terrain $K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$. Si$f$ est soluble par radicaux sur $K$ alors la formule pour les racines implique des opérations arithmétiques et des radicaux (imbriqués si nécessaire) appliqués sur les membres de $K$ et il inclut les coefficients littéraux de $f$ parce qu'ils sont quoi $K$est réalisée en. On voit facilement que c'est le cas dans le cas d'équations quadratiques ou cubiques dont on sait qu'elles peuvent être résolues.
Ainsi, les coefficients entrent toujours la formule pour les racines s'il existe une formule disponible.
Notons aussi le fait bien connu (établi par Abel bien avant Galois) que les polynômes à coefficients littéraux sont solubles sur leur champ de coefficients ($K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$) si et seulement si $n<5$.
Pour résumer un tel exemple que vous cherchez n'existe pas.
J'ai essayé de discerner le sens du commentaire par reuns et il semble lié au traitement de la quintique résoluble donnée par Dummit et Foote dans son Abstract Algebra .
Ils décrivent un critère pour vérifier si un quintique donné $$f(x) =x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\in\mathbb{Q}[x]$$ est résoluble sur $\mathbb{C} $. L'idée est de former un polynôme compliqué de degré 6 en$\mathbb{Q} [x] $ avec des coefficients réalisés en utilisant des coefficients de $f$ et vérifier s'il a une racine rationnelle ou non.
Et si le polynôme de degré 6 mentionné ci-dessus a une racine rationnelle alors $f$ est soluble par radicaux sur $\mathbb{C} $. Vous voudrez peut-être vérifier (dans ce cas) s'il existe une formule pour les racines basée sur des éléments de$K=\mathbb {C} (a, b, c, d, e) $. Je pense qu'il existe une telle formule, mais je ne suis pas sûr.
Habituellement, lorsque l'on considère le problème de la solvabilité d'un polynôme $f(x) \in K[x] $, le champ $K$ est le plus petit champ contenant les coefficients de $f$. Dans ce cas, si le polynôme est résoluble par des radicaux sur$K$ alors les racines peuvent être exprimées en termes de coefficients de $f$ via des opérations arithmétiques et des radicaux.
Élargir le champ $K$ à une certaine extension $L$ et vérifier la solvabilité sur $L$ rend le problème plus simple (trivial si $L$ est le champ de division de $f$).
Aussi si nous considérons le scénario où $f(x) \in K[x] $ est soluble par radicaux sur $K$ et $F\subset K$ est le plus petit champ contenant les coefficients dont nous avons besoin pour étudier le problème de la solvabilité de $f$ plus de $F$ séparément et on ne peut rien déduire de sa solvabilité sur $K$.
Ainsi votre problème n'a de sens que dans le cadre habituel où la solvabilité est vérifiée sur le champ des coefficients et ensuite (pour répéter ce que j'ai dit plus tôt) le type d'exemple que vous recherchez n'existe pas.