Exemple de fonction avec une propriété curieuse

Question

Dénoter par $L^1(0,1)$ l'espace des fonctions intégrables de Lebesgue sur l'intervalle $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Existe-t-il une fonction $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ tel que:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Je suppose que la réponse est positive et le but est de construire $F$ tel que $F$ et $F'$se comportent convenablement près de zéro. Cela semble assez délicat. J'ai vérifié ça$F$ ne peut pas être un polynôme ou une fonction de puissance (depuis lors $F'\simeq \frac{F}x$, donc les conditions 2 et 3 ne peuvent pas tenir simultanément).

J'apprécierais tous les indices!

Answer 1

Une telle fonction n'existe pas. Tout d'abord,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ quand $a,b\to 0$. Donc$F$ a une limite $c$ au point 0. Si $c\ne 0$, puis 1) échoue. Donc$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Suivant, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Maintenant $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Prenons deux cas:

1. $F$ a fixé le signe près de 0. Puis en choisissant $a,b$ proche de 0 on conclut de (1) et (2) que $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ converge à 0, mais cela équivaut à la convergence de $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ dont nous avons besoin.

2. $F$ a une infinité de zéros dans n'importe quel voisinage de 0. Puis en choisissant $(a_k,b_k)$ étant des intervalles maximaux d'inclusion de l'ensemble ouvert $\{x:F(x)\ne 0\}$ et appliquer (2) pour $a=a_k,b=b_k$ nous liions $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ via $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Ici$c=b_1$, par exemple.