Existe-t-il des systèmes chaotiques qui ne peuvent être prédits même à la limite des conditions initiales de précision infinie et des ressources infinies?
J'ai une compréhension profane de la théorie du chaos , qui semble indiquer qu'en utilisant des conditions initiales de précision finie et des ressources informatiques finies, les systèmes chaotiques ne peuvent pas être prédits après une période de temps.
Ma question est ce qui se passe dans la limite de l'augmentation de la précision des conditions initiales et des ressources à l'infini: le système reste-t-il chaotique, ou la fenêtre de prédiction diverge-t-elle également à l'infini?
Tenez particulièrement compte des conditions suivantes:
Nous avons un système chaotique.
Nous calculons la fenêtre de temps de prédiction $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ étant donné une marge d'erreur finie $e$, pour une précision finie des conditions initiales $p$, et un ordinateur avec une mémoire limitée $m$ fonctionnant à une vitesse finie $s$.
Nous calculons la même fenêtre de temps de prédiction $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ lorsque la précision, la mémoire et la vitesse divergent ensemble à l'infini (mais $e$ reste fini).
Si pour tous les systèmes chaotiques, la fenêtre temporelle diverge à l'infini, alors la réponse à cette question est non .
Si un système est trouvé où $t_\text{pred}$peut rester finie, alors la réponse à cette question est oui .
Puisque cette question semble très loin d'être pratique, j'ajouterai une motivation: je sens que la réponse à cette question a un impact important en théologie. À savoir si la réponse est oui, cela exclurait logiquement la possibilité d'un dieu non interventionniste et omniscient (futur inclus) qui a conçu l'univers avec un but, car il ne serait pas capable de faire ces calculs même si il / elle était infiniment puissant.
Réponses
Une propriété cruciale des systèmes chaotiques est qu'ils sont déterministes: il n'y a pas d'élément aléatoire dans le modèle. Les conditions initiales déterminent exactement l'avenir du système.
Si je simule deux fois un modèle chaotique avec les mêmes conditions initiales¹ sur un ordinateur réel, j'obtiens exactement le même résultat. Cela ne diffère de la vraie solution pour mes conditions initiales qu'en raison de la précision finie de l'arithmétique à virgule flottante (et, comme le système est chaotique, cette différence peut être grande) ². Et bien sûr, dans le cas purement hypothétique où je veux simuler un système réel isolé pour lequel j'ai un modèle exact, j'ai le problème que je ne peux pas parfaitement représenter mes conditions initiales réelles sous forme de nombres à virgule flottante.
Si je dispose d'une précision arbitraire et de ressources informatiques infinies ainsi que d'une parfaite connaissance des conditions initiales, je peux parfaitement prédire un système chaotique en le simulant simplement. Pour un système à temps discret, les seules raisons pour lesquelles j'ai besoin d'une mémoire et d'une vitesse de calcul infinies sont le stockage et le travail avec des nombres de précision arbitraires³ (et bien sûr si je veux aller indéfiniment dans le futur). Pour un système à temps continu, il y a une autre raison pour laquelle j'ai besoin d'une vitesse de calcul infinie, à savoir pour effectuer l'intégration numérique avec des pas de temps arbitrairement fins.
¹ et les mêmes règles de l'arithmétique en virgule flottante
² pour un système en temps continu, l'imprécision inhérente à l'intégration numérique ajoute également une erreur
³ puisque je me retrouve avec une infinité de chiffres