Existe-t-il une expression de forme fermée pour $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?
Je voudrais demander si pour $|x|<1$, nous pouvons exprimer le produit $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ en tant que fonction $f(x)$. J'ai essayé d'utiliser le théorème de factorisation de Weierstrass, mais sans grand succès.
J'apprécierais vraiment une référence ou une solution.
Réponses
Comme déjà remarqué dans les commentaires, l'expression peut être obtenue à partir des produits infinis pour $\Gamma$(soit celui d' Euler , soit celui de Weierstrass ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ et le "algébrique" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, donnant $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Ceci s'applique facilement à des "produits infinis rationnels" plus généraux, comme indiqué ici .
Commentaire:
La borne de ce produit peut être trouvée en utilisant l'inégalité de Weierstrassn:
Si $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ sont des nombres entiers positifs réels inférieurs à l'unité, et:
$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$
puis:
$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$
Où nous pouvons louer:
$a_n=\frac x {n^3}$