Existe-t-il une manière standard d'équiper une sigma-algèbre avec une sigma-algèbre?

Question

Supposer $(X, \mathcal X)$est un espace mesurable. J'aimerais dire quelque chose sur les fonctions mesurables prenant des valeurs$\mathcal X$, mais pour ce faire, j'ai besoin $\mathcal X$ être équipé d'une sigma-algèbre.

Existe-t-il une manière canonique d'équiper $\mathcal X$ avec une sigma-algèbre $\mathcal F_\mathcal X$ afin que nous puissions parler de fonctions mesurables de $(X, \mathcal X)$ à $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Quelques idées qui m'est venu à l'esprit:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Mais je ne vois pas que cela soit fermé sous compléments.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Mais je ne vois pas que cela soit fermé sous des syndicats dénombrables.

Answer 1

Autant que je sache, il n'y a pas d'approche standard pour construire une telle structure mesurable.

Nous avions besoin de quelque chose comme ça pour certains travaux généralisant les processus décisionnels de Markov (vus du point de vue de l'informatique) au «non déterminisme». Vous pouvez vérifier la référence à l' arXiv ( DOI ).

La définition qui a fait le travail pour nous là-bas était de déclarer certains un sous-ensemble de $\mathcal{X}$ mesurable s'il est dans le $\sigma$-algèbre $H(\mathcal{X})$ généré par les ensembles $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, où $\xi$ s'étend sur $\mathcal{X}$. Ceci est principalement motivé par la construction de l'hyperespace mesurable de sous-ensembles fermés d'un espace topologique.

En fait, se limiter à un sous-ensemble approprié de $\mathcal{X}$ semble plus raisonnable, puisque le résultat $\sigma$-l'algèbre est énorme: si je me souviens bien, une fois $X$ est infini et $\mathcal{X}$ sépare les points, puis $H(\mathcal{X})$ ne peut pas être généré de manière dénombrable.