Explication de la preuve de Shakarchi de 1.3.4 dans l'analyse de premier cycle de Lang

Question

Je travaille actuellement sur l'analyse de premier cycle de Lang et j'essaie de comprendre la preuve de Rami Shakarchi de ce qui suit:

Laisser $a$ être un entier positif tel que $\sqrt a$est irrationnel. Laisser$\alpha = \sqrt a$. Montrer qu'il existe un nombre$c > 0$ tel que pour tous les entiers $p, q$, avec $q > 0$ nous avons $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.

J'ai ajouté une capture d'écran de la preuve de Shakarchi ci-dessous:

Ma compréhension de cette preuve est la suivante:

La suggestion donnée par Lang est de rationaliser $q \alpha - p$, c'est à dire prendre le produit $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. Cela rapporte

$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$

Rappel $q, a, p \in \mathbb{Z}$, avec $q > 0$ et aussi $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, en particulier $a \neq 0$. ensuite$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$

Là où je tombe un peu, c'est dans la partie suivante - nous choisissons $c$ tel que $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. Je suppose que nous choisissons$c$ de cette façon pour gérer le cas où $\mid \alpha \mid < 1$ pour que $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. Si tel est le cas, nous pouvons vraiment choisir n'importe quel multiple positif de$\mid \alpha \mid$ dans le démonateur, ie $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ ou $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ fonctionnerait tout aussi bien.

Maintenant, en utilisant le résultat obtenu en $\textbf{1}$ et notre hypothèse, nous mettons en place l'inégalité en $\textbf{2}$. Je ne sais pas comment l'inégalité la plus à gauche est obtenue - je sais que par hypothèse$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ et nous ajoutons $\mid 2\alpha \mid$ aux deux côtés pour obtenir l'inégalité la plus juste.

Puis dans l'inégalité finale, je ne sais pas comment nous savons que $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.

Je cherche une réponse à ces deux points:

1. Une explication des étapes que j'ai décrites ci-dessus comme n'étant pas claires, c'est-à-dire le choix de $c$ (pourquoi choisissons-nous $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), l'inégalité la plus à gauche $\textbf{2}$, et l'inégalité moyenne dans $\textbf{3}$.
2. Cette preuve m'était assez peu intuitive - je n'ai même pas envisagé de rationaliser $q \alpha - p$quand je travaillais pour la première fois sur ce problème. J'imagine que c'est le genre de choses que vous commencez à mieux voir avec des problèmes de travail comme celui-ci. Pourtant, existe-t-il une preuve plus simple ou plus directe?

Answer 1

C'est l'inégalité triangulaire

$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$

La raison pour laquelle le $3$ a été choisi parce que: nous devons obtenir $|\alpha -\frac pq|$plus grand que quelque chose. Mais si$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ nous ne pouvons pas l'obtenir directement parce que nous savons seulement $|\alpha-\frac pq|$est plus petit que quelque chose. Au lieu de cela, nous devons travailler avec$|\alpha + \frac pq|$être plus grand que quelque chose. Mais comment pouvons-nous convertir$|\alpha + \frac pq|$ à quelque chose impliquant $|\alpha -\frac pq|$? Eh bien, la façon dont ils l'ont fait était$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. Mais cela en jette deux de plus$\alpha$s dans les travaux.

"Je ne sais pas comment nous savons que$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"

Eh bien, vous avez $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$

Alors $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$

$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$

$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.

Answer 2

L'inégalité la plus à gauche dans 2 m'a pris un peu de temps à comprendre :)

C'est l'inégalité triangulaire:

$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$

L'inégalité moyenne en 3 n'est que l'inégalité globale de 2 .

Le choix de $c$ peut-être plus flexible, mais je pense que l'utilisation de 3 annule tout ce qui précède et fonctionne plus bien.