Faible topologie de l'espace normé

Question

Laisser $X,Y$ être deux espaces normés et $T:X\rightarrow Y$ être un opérateur linéaire borné. $X,Y$avec une topologie faible. Ma question est que$T$ cartes ensemble faiblement compact de $X$ à un ensemble faiblement compact de $Y$ et la deuxième question est que $T$ reste une carte continue si on équipe $X,Y$ avec une topologie faible.

Answer 1

Si $V$ est un élément de sous-base de $\tau_w$ dans $Y$ contenant $0_Y$, alors il y a un fonctionnel $\phi:Y\to \mathbb F$ et $\epsilon>0$ tel que $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Ensuite,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Maintenant$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ est une fonctionnelle linéaire continue (normale), donc $T^{-1}(V)$ est faiblement ouvert dans $X$ et contient $0_X$. Il s'ensuit que$T$est continue faible-faible. Cela donne une réponse affirmative à la deuxième question, à laquelle elle donne une réponse affirmative à la première.

Answer 2

Cette réponse n'apporte rien de nouveau, mais je pense qu'une explication en termes de séquences pourrait être plus claire. La question de la compacité découle d'une continuité faible à faible (l'implication vaut pour les topologies arbitraires), il suffit donc de montrer cette dernière.

Supposer $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Alors, pour tous$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. En particulier, tout dual de la forme$g\circ T$, où $g\in Y^*$, satisfera $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Mais c'est juste $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.