Forme fermée d'hypergéométrique $\, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)$
Laisser $f(z)=\sqrt[3]{\sqrt{z^2-z^3}+z}$, $g(z)=\sqrt{\frac{f(z)}{z}+\frac{1}{f(z)}}$ , alors comment le prouver pour $\ 0<z<1$:
$$\small \, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)=\frac{4 \sqrt[4]{2} }{3 \sqrt{3}}\left(g(z)-\sqrt{-\frac{f(z)}{z}+\frac{2 \sqrt{2}}{z g(z)}-\frac{1}{f(z)}}\right)^{3/2}$$
Cette formule est collectée sur le site Wolfram Functions mais aucune preuve n'y est proposée. Je pense qu'il vaudra la peine de trouver une preuve rigoureuse, ainsi que d'étudier la motivation de cette formule afin de générer des formes algébriques fermées similaires de séries hypergéométriques généralisées (très probablement, leur$_2F_1$les homologues sont ceux de la liste de Schwarz). Toute aide serait appréciée!
Réponses
Ce qui suit est une preuve quelque peu tentaculaire de la formule, mais il n'y a en réalité que deux étapes principales. La clé "observation" (!) Est que l'expression entre parenthèses sur le côté droit est proportionnelle à l'une des racines du polynôme quartique$z x^4 - 4 x + 3$. Ainsi, nous pouvons d'abord prouver que l'expression entre parenthèses résout bien la quartique, puis nous prouvons que la fonction hypergéométrique donnée est égale à cette fonction particulière de la racine quartique.
Pour la première étape, nous pouvons simplement utiliser la formule des racines quartiques . Les formules sur Wikipedia sont écrites pour une quartique générale$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e$, et sont assez difficiles à répéter ici, mais pour nous $b = c = 0$, tant de ces expressions simplifient. En vous laissant une partie de la vérification intermédiaire, je dirai que$\Delta_0 = 36z$, $\Delta_1 = 432z$ et $p = 0$, alors $$ Q = 6 \sqrt[3]{z + \sqrt{z^2-z^3}} = 6 f(z)\ , $$ ce qui signifie que $$ S=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\ . $$ Brancher ceci et $q = - 4/z$ dans la formule finale pour les racines, nous obtenons $$ x_{u, v} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(u\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}+v\sqrt{-\left(\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}\right)+2\sqrt{2} v\left/\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\right.}\right)\ . $$ Prise $u=\pm 1$ et $v = \pm 1$nous donne les quatre racines. La racine qui apparaît dans votre expression est$x_{1,-1}$.
(L '"observation" farfelue au début de la réponse nécessite de connaître au préalable la formule quartique. Puisque la formule quartique contient $$ Q = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}}\ , $$ on pourrait supposer que $f(z)\propto Q$dans la formule racine pour une quartique parce que les pouvoirs et les racines correspondent. Pour que cela se produise, nous avons besoin des deux$\Delta_0$ et $\Delta_1$ être égal à $z$. Afin de mieux faire correspondre la forme de$S$, nous avons aussi besoin de $p = (8ac - 3 b^2)/8a^2 = 0$. Pour satisfaire cette dernière contrainte, nous supposons que$b =c = 0$. La première contrainte nous oblige alors à deviner que$a$ est proportionnel à $z$.)
Ensuite, nous aimerions montrer que ${}_4 F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right) = \left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$. (Notons cette expression par$(\star)$Pour ce faire, nous prouvons d'abord que la fonction du côté droit satisfait une équation différentielle hypergéométrique généralisée , puis trouvons certaines conditions initiales supplémentaires qui nous donneront une solution particulière égale au côté gauche.
Le cas particulier des équations hypergéométriques généralisées que nous devrions examiner est $$ \begin{multline} z \frac{d}{dz} \left(z \frac{d}{dz} + b_1 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_2 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_3 - 1\right) y(z)\\ = z \left(z \frac{d}{dz} + a_1\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_2\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_3\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_4\right) y(z)\ , \end{multline} $$ où $a_1 = \frac{3}{8}, a_2=\frac{5}{8}, a_3 = \frac{7}{8}, a_4=\frac{9}{8}$ et $b_1 = \frac{5}{6},b_2 = \frac{7}{6},b_3 = \frac{9}{6}$. Il a$4$ solutions linéairement indépendantes, dont l'une est ${}_4 F_3(a_1, a_2, a_3, a_4; b_1, b_2, b_3;z)$. Les autres solutions sont de la forme$z^{1-b_i} {}_4 F_3(1+a_1-b_i, 1 + a_2-b_1,1+a_3-b_i,1+a_4-b_i;1+b_1-b_i,\dots, 2-b_i;z)$.
Nous pouvons vérifier que le $\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$résout l'équation différentielle en la branchant, en prenant toutes les dérivées et en simplifiant. Cependant, c'est une tâche assez difficile même avec l'aide de Mathematica. Je présente ici une méthode différente qui va dans la direction opposée, c'est-à-dire que nous allons construire une équation différentielle appelée la résolvante différentielle qui$\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$ satisifes, qui se révélera être l'équation hypergéométrique généralisée ci-dessus.
La construction ici est très similaire au processus décrit dans cette réponse ici . Essentiellement, ce que nous allons faire est d'écrire une combinaison linéaire de dérivés de$y(z)$ qui est forcé d'être nul en raison de certaines relations que ces dérivées satisfont, qui sont dérivées d'une équation algébrique qui $y$satisfait lui-même. Depuis$x(z) = \left(\frac{4}{3} y(z)\right)^{3/2}$ satisfait $z x^4 - 4x +3$, nous avons l'équation suivante pour $y$, $$ \frac{81}{256} z y^{8/3} - 3 y^{2/3} + 3 = 0\ . $$ On peut implicitement différencier cette équation pour exprimer toutes les dérivées de $y$ en terme de $y$ et $z$. Nous voulons trouver les coefficients$\mu_i(z)$ qui rendent l'expression suivante nulle, $$ \mu_0 y''''(z) + \mu_1 y'''(z) + \mu_2 y''(z) + \mu_3 y'(z) + \mu_4 y(z) + \mu_5\ . $$ En utilisant les expressions de $y^{(n)}(z)$ dérivée plus tôt, cela peut être réécrit comme une fonction rationnelle de $y^{1/3}$ dont le numérateur est un polynôme de $y^{1/3}$d'un certain degré élevé. Nous pouvons utiliser l'équation algébrique pour$y$ pour réduire le degré de ce polynôme à moins de $8/3$. On force maintenant cette expression à zéro, c'est-à-dire que les coefficients de chaque puissance de$y^{1/3}$ devrait être $0$. A partir de ces conditions, nous pouvons résoudre pour$\mu_i$ en terme de $z$, et enfin obtenir l'équation différentielle suivante. $$ \begin{multline} (z^3-z^4)y''''(z) + \left(\frac{13}{2}z^2-9z^3\right)y'''(z) \\ + \left(\frac{305}{36}z - \frac{615}{32}z^2\right)y''(z) + \left(\frac{35}{24} - \frac{555}{64}z\right)y'(z) - \frac{945}{4096} y(z) = 0\ . \end{multline} $$On peut brancher les paramètres de l'équation hypergéométrique généralisée et la simplifier pour confirmer qu'elle est bien la même que la résolvante différentielle. Ce processus est plutôt fastidieux et pas difficile avec l'aide de Mathematica, donc je ne l'enregistrerai pas ici. Néanmoins, pour être un peu plus explicite, je dirai que l'équation se simplifie en$$ \begin{multline} (z^3-z^4) y''''(z) + [(t_1 + 3)z^2 - (s_1 + 6)z^3]y'''(z) + \\ [(t_1+t_2+1)z-(3s_1+s_2+7)z^2]y''(z) + [t_3 - (s_1+s_2+s_3+1)z]y'(z) - s_4 y(z) = 0 \end{multline} $$ où $s_i$ et $t_i$ sont le diplôme $i$ polynômes symétriques élémentaires dans$a_1,a_2, a_3, a_4$ et $b_1, b_2, b_3$, respectivement. Espérons que cela soit plus facile à vérifier à la main.
Enfin, pour trouver la solution particulière du résolvant différentiel qui satisfait $(\star)$, nous pouvons utiliser les dérivées du côté droit pour fournir les conditions initiales qui détermineront la solution particulière. Ces dérivées peuvent être facilement évaluées, puisqu'à la première étape de la construction de la résolvante différentielle, nous avons déjà exprimé les dérivées en fonction des valeurs de la fonction.