$G$est un point à l'intérieur du triangle$ABC$tel que$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, où$[XYZ]$est la zone de$XYZ$. Montre CA$G$est le centre de gravité de$ABC$.

Question

Laisser$G$être un point à l'intérieur d'un triangle$ABC$tel que$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, où$[XYZ]$est l'aire d'un triangle$XYZ$. Montre CA$G$est le centre de gravité du triangle$ABC$.

Ma tentative : Depuis$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, donc nous avons$CG$,$AB$et$GB$, sont les$3$médianes, donc$G$est le centre de gravité de$ABC$.

Je n'en suis pas sûr.

Answer 1

Laisser$CG\cap AB=\{C_1\}$,$BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,

$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$,$S_{\Delta GBA_1}=a_2$et$S_{\Delta GCA_1}=a_1.$

Ainsi,$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$qui donne$$a_1=a_2$$et d'ici$A_1$est un point médian de$BC$.

Peux-tu en finir maintenant ?

Answer 2

Pas vraiment, à moins que le triangle$ABC$est équilatéral.

Mais cela suggère une ligne de raisonnement si vous pouvez utiliser des transformations affines. Nous avons les faits suivants :

1. Sous une transformation affine, le rapport entre deux aires est constant.

2. Si$(ABC)$et$(A'B'C')$sont deux triangles non dégénérés, alors il existe une transformation affine qui projette l'un sur l'autre.

Par conséquent, pour résoudre le problème en général, il suffit de le résoudre pour un triangle équilatéral. Et voila.

Answer 3

Il existe une preuve facile si vous connaissez les coordonnées barycentriques .

En bref, les coordonnées barycentriques d'un point$M$intérieur d'un triangle$ABC$est le système$(w_A,w_B,w_C)$de$3$nombres (appelés "poids") à placer sur les sommets$A,B,C$pour obtenir un centre de masse à$M$.

Il existe un moyen simple de trouver ces poids (l'interprétation dite surfacique des coordonnées barycentriques):

$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$(https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),

Remarque : Par leur définition, les coordonnées barycentriques sont uniques, à un multiplicateur près ; le multiplicateur le plus courant est$1/[ABC]$: dans ce cas, on les appelle coordonnées barycentriques normalisées et leur somme est$1$.

Si tous les domaines$[GBC]=[GCA]=[GAB]$sont égaux, les coordonnées barycentriques normalisées sont$(1/3,1/3,1/3)$: on reconnaît celles du barycentre ; ceci permet de conclure du fait de l'unicité des coordonnées barycentriques.

Remarque : les coordonnées barycentriques ont un sens même lorsque$M$est extérieur au triangle$ABC$: il suffit de considérer en (1) que les aires sont des aires orientées ; par exemple$[MBC]$est considéré comme positif s'il part de$M$à$B$, puis à$C$, on tourne avec l'orientation directe, sinon$[MBC]$est pris avec un signe négatif.