Groupes virtuellement grands de petit rang (liés à 3-variétés)
Je cherche une raison pour laquelle un groupe à 3 variétés $G$ c'est virtuellement $\mathbb{Z}\times F$, $F$étant soit libre non cyclique, soit un groupe surfacique, n'admet pas une présentation sur deux générateurs.
Ce sont les groupes fondamentaux de 3-variétés fermées avec $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ géométrie (merci @HJRW pour avoir souligné que le cas barré ci-dessus correspond à une frontière non vide), et il s'avère que toutes les autres géométries admettent des exemples avec un groupe fondamental de rang deux, avec une mise en évidence notable de la géométrie euclidienne où toutes les géométries fondamentales les groupes sont virtuellement $\mathbb{Z}^3$(et classer deux exemples étant les variétés de Fibonacci). Ainsi, les groupes à 3 variétés admettent des exemples de groupes de rang pratiquement élevé étant néanmoins de petit rang eux-mêmes. Bien entendu, il est bien connu qu'un groupe libre sur deux générateurs est virtuellement de rang arbitrairement élevé.
Cependant, par Boileau & Zieschang , théorème 1.1, le rang de$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ les variétés dépend du genre de la surface de base et du nombre de fibres singulières de la fibration Seifert (et est d'au moins 3), donc étant virtuellement $\mathbb{Z}\times F$ force le groupe à être au moins du même rang.
Quelle est la raison pour laquelle ce sous-groupe limite le rang du groupe ambiant par le bas et, par exemple, des groupes libres ou abéliens libres $\mathbb{Z}^3$ne pas? Je serais heureux s'il y avait une raison géométrique tridimensionnelle en jeu ici, mais je serais reconnaissant de rafraîchir également ma théorie générale des groupes.
Réponses
La question découle d'une mauvaise interprétation du théorème 1.1 dans l'article de Boileau et Zieschang. Le théorème 1.1 exclut un bon nombre de cas, en particulier, il ne s'applique pas aux variétés Seifert fermées (totalement orientées) avec 3 fibres singulières et base de genre 0. Certaines de ces variétés Seifert exclues fournissent des contre-exemples à votre affirmation sur le rang$\ge 3$.
Par exemple, prenez l'extérieur $N$ d'un $(p,q)$- nœud de tore qui n'est pas trivial et non le trèfle. Le genre de ce nœud est$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(parce que j'ai exclu le trèfle qui a le genre 1). Le collecteur$N$ est un faisceau de surface sur le cercle dont la fibre $F$ est la surface une fois perforée du genre $g$. La monodromie de cette fibration est un ordre fini (en fait, l'ordre est$pq$) homéomorphisme $h: F\to F$. Ainsi, si nous effondrons la limite de$F$ au point, on obtient une surface fermée $S$ de genre $g$ et $h$ projettera vers un homéomorphisme d'ordre fini $f: S\to S$. Le tore cartographique$M=M_f$ est un collecteur Seifert de type ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ obtenu par un remplissage Dehn de la limite de $N$. La base de la fibration Seifert aura trois points singuliers et genre 0: Deux des fibres singulières proviennent de$N$ et l'un vient du tore solide attaché à $\partial N$à la suite de notre remplissage Dehn. (C'est un fait général que la cartographie tore d'un homéomorphisme d'ordre fini d'une surface hyperbolique est une variété Seifert de type${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Depuis le groupe $\pi_1(N)$ est généré par 2, le groupe de quotient $\pi_1(M)$ est également généré par 2.