$h^{p,q}$ d'un tore complexe.

Question

Comme nous le savons, une surface de Kähler compacte avec un faisceau canonique trivial est une surface K3 ou un tore de dimension 2. Je sais $h^{0,2}$ d'une surface K3 vaut 1, et je sais $h^{0,2}$ d'un tore ne doit pas être nul (sinon c'est toujours algébrique), mais je ne sais pas calculer $h^{0,2}$ d'un tore complexe de dimension 2.

À propos, existe-t-il une méthode générale pour calculer tous les nombres de Hodge d'un tore complexe de dimension $n$? Tous les commentaires sont les bienvenus!

Answer 1

Puisque vous utilisez la théorie du tag Hodge: on peut donner $\mathbb C^n/\Gamma$ la métrique plate de celle de $\mathbb C^n$. Il suffit donc de trouver toutes les formes harmoniques.

Puisque le faisceau cotangent complexifié est trivial et couvert par les formes globales $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ tout $(p, q)$-forms sur $\mathbb C^n/\Gamma$ sont globalement donnés par $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

où $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. Depuis

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

si $\alpha$ est harmonique, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$doit être des fonctions harmoniques. Depuis$\mathbb C^n /\Gamma$ est compact, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$sont des constantes par principe maximum. Donc$H^{p,q}$ est couvert par $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

et

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$