Homotopie équivalente à 4 variétés lisses qui ne sont pas stablement difféomorphes?
Rappelez-vous que deux collecteurs 4 $M$ et $N$sont stablement difféomorphes s'il existe$m,n$ tel que $$M \#_n (S^2 \times S^2) \cong N \#_n (S^2 \times S^2).$$ Autrement dit, ils deviennent difféomorphes après avoir pris suffisamment de sommes connectées avec $S^2 \times S^2$.
Je suis intéressé à trouver des exemples $M$ et $N$ qui sont équivalents à l'homotopie $M \simeq N$, mais où $M$ et $N$ ne parviennent pas à être stablement difféomorphes.
Je connais deux sources d'exemples de telles variétés. Dans l'exemple 5.2.4 de
4-variétés topologiques avec groupe fondamental fini P. Teichner, Thèse de doctorat, Université de Mayence, Allemagne, Shaker Verlag 1992, ISBN 3-86111-182-9.
Teichner construit une paire de $M$ et $N$ où le groupe fondamental $\pi$ est un groupe fini avec Sylow 2-sous-groupe un groupe de Quaterion généralisé $Q_{8n}$ avec $n \geq 2$.
Une autre paire de $M$ et $N$ avec le groupe fondamental le groupe dièdre infini a été construit en:
Sur la construction en étoile pour les 4 variétés topologiques . P. Teichner, Proc. de la Georgia International Topology Conference 1993. Geom. Haut. Goujon AMS / IP. Adv. Math. 2300-312 AMS (1997)
Existe-t-il d'autres exemples connus de ce phénomène? Je n'ai pas réussi à en trouver d'autres dans la littérature, mais ce n'est pas mon domaine d'expertise. Y a-t-il des résultats généraux sur le moment où cela peut se produire?
Réponses
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\RP}{\mathbb{RP}}$ $\RP^4$ et le faux de Capell-Shaneson $\RP^4$, que je dénoterai $Q$, sont un exemple avec groupe fondamental $\Z/2$. Je ne sais pas si cela se généralise, mais j'aime cet exemple pour des raisons TFT: David Reutter a prouvé que les TFT semi - simples 4d ne peuvent pas distinguer les TFT orientés, stablement difféomorphes$4$-manifolds, mais il existe un TFT semi-simple qui distingue $\RP^4$ de $Q$.
La théorie de la chirurgie modifiée de Kreck détermine si deux $4$-manifolds $X$ et $Y$ sont $(S^2\times S^2)$-stablement difféomorphe en utilisant le bordisme. Plus précisément,$X$ et $Y$ doit avoir la même normale stable $1$-type $\xi\colon B\to BO$. (Voir Kreck pour la définition d'une normale stable$1$-type.) Ensuite, on calcule l'ensemble $S(\xi) := \Omega_4^\xi/\mathrm{Aut}(\xi)$, où $\mathrm{Aut}(\xi)$ désigne les équivalences d'homotopie de fibre de $\xi\colon B\to BO$. $X$ et $Y$ déterminer les classes dans $S(\xi)$; ils sont stablement difféomorphes ssi ces classes sont égales.
Dans le cas de $\RP^4$ et $Q$, le type normal stable est $\xi\colon B\mathit{SO}\times B\Z/2\to BO$, où la carte est classée par le faisceau de vecteurs virtuels de rang zéro $V_{\mathit{SO}}\oplus (\sigma - 1)$; Ici$V_{\mathit{SO}}\to B\mathit{SO}$ et $\sigma\to B\Z/2$sont les faisceaux tautologiques. Un ascenseur de la carte de classification à travers$\xi$ équivaut à une épingle$^+$ structure sur le faisceau tangent, donc nous regardons $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\cong\Z/16$. le$\mathrm{Aut}(\xi)$-action sur $\Z/16$ envoie $x\mapsto \pm x$.
Kirby-Taylor choisit un isomorphisme$\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\Z/16$ et montrer que sous cet isomorphisme, les deux broches$^+$ structures sur $\RP^4$ sont envoyés à $\pm 1$, et les deux broches$^+$ structures sur $Q$ sont envoyés à $\pm 9$. Ainsi, lorsque nous envoyons$x\mapsto -x$, ces deux restent distincts.
Digression TFT: pour construire un TFT non orienté 4d qui distingue $\RP^4$ de $Q$, commencez par l'épingle$^+$ TFT inversible dont la fonction de partition est la $\eta$-invariant définissant l'isomorphisme $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\mu_{16}$ (Ici $\mu_{16}$ désigne les 16èmes racines de l'unité en $\mathbb C$). Ensuite, effectuez l'intégrale de chemin fini sur la broche$^+$structures. Ces deux opérations sont mathématiquement comprises pour un TFT une fois étendu, le résultat est donc un TFT non orienté une fois étendu (donc semi-simple) qui distingue$\RP^4$ de $Q$. J'ai écrit à ce sujet un peu plus en détail dans une autre réponse de MO .