Identité de polarisation si opérateur

Question

Laisser $\mathcal{H}$ être un espace Hilbert sur $\mathbb{C}$. Je connais (et j'ai prouvé) l'identité de polarisation suivante: \ begin {eqnarray} \ langle x, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y \ rangle \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} pour$x,y \in \mathcal{H}$. Maintenant, j'aimerais prouver le résultat suivant en conséquence de (\ ref {1}): \ begin {eqnarray} \ langle Axe, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0 } ^ {3} i ^ {k} \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray} où$A$ est un opérateur linéaire borné donné sur $\mathcal{H}$. Si vous changez$x$ à $Ax$dans (\ ref {1}), vous obtenez: \ begin {eqnarray} \ langle Axe, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle Ax + iy, Ax + iy \ rangle \ tag {3} \ label {3} \ end {eqnarray} mais pas (\ ref {2}) et je suis bloqué à ce stade. Comment (\ ref {1}) implique-t-il (\ ref {2})?

Answer 1

Merci aux commentaires, je crois que je l'ai compris. Premièrement, nous devons montrer que l'identité de polarisation tient également dans un contexte plus général, à savoir si$T:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$ satisfait les propriétés suivantes:

(une) $T(x,\alpha y + \beta z) = \bar{\alpha}T(x,y)+\bar{\beta}T(x,z)$

(b) $T(\alpha x + \beta z, y) = \alpha T(x,y) + \beta T(z,y)$

puis, il s'ensuit que:

\ begin {eqnarray} T (x, y) = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} T (x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y) \ tag {1 '} \ label {1.1} \ end {eqnarray}

Preuve de (\ ref {1.1}): Ecrire:$$T(x,y) = T\bigg{(}\frac{1}{2}(x+iy+x-iy), \frac{1}{2i}(x+iy - (x-iy))\bigg{)}$$ En utilisant les propriétés (a) et (b), nous obtenons: $$T(x,y) = -\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$

Maintenant, notez que: $$-\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)] = \frac{1}{4}i[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$ et, en utilisant à nouveau (a) et (b), nous avons également: $$\frac{1}{4}i [-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)] = \frac{1}{4}i[2T(x,iy)-2T(iy,x)] = \frac{1}{4}i[-2iT(x,y)-2iT(y,x)] = \frac{1}{2}[T(x,y)+T(y,x)] = \frac{1}{4}[T(x+y,x+y)-T(x-y,x-y)]$$ et (\ ref {1.1}) suit.

Maintenant, le résultat suit en définissant $T(x,y) := \langle Ax,y\rangle$ pour tous $x,y \in \mathcal{H}$.