Interprétation d'un certain théorème général utilisé par Gauss dans ses travaux sur les fonctions thêta.
J'essaye de comprendre le sens d'une proposition générale énoncée par Gauss dans un article posthomique (cet article est aux pages 470-481 du volume 3 du werke de Gauss) sur les fonctions thêta, proposition qui semble servir de guide et principe organisateur de la grande quantité de relations entre les fonctions thêta qu'il a trouvées.
Notation et définitions de Gauss
Dénoter par $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ les fonctions suivantes:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Ces fonctions incluent les fonctions thêta de Jacobi dans leur signification habituelle en tant que cas spéciaux; si$y$ est un nombre complexe dont la valeur absolue est $1$, et $z$ est défini comme étant un nombre réel tel que $y = e^{2iz}$, ensuite nous avons:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
qui découle de l'identité $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. En particulier, nous avons:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Donc on peut comprendre $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ comme une généralisation de la fonction thêta de Jacobi $\vartheta(z,x)$ de purement réel $z$ à un complexe $z$ (partie imaginaire non nulle de z), de sorte que $|y| \ne 1$.
Remarque: je ne connais pas très bien les publications de Jacobi, il est donc fort possible que la définition originale de Jacobi de ses fonctions thêta inclue également le cas où$z$ est complexe, donc les fonctions de Gauss $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ ne sont rien d'autre que de simples fonctions thêta de Jacobi avec une notation différente.
Théorème de Gauss
Le 6 août 1827, Gauss énonça le "théorème général" suivant:
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
puis continue à en tirer une multitude de relations.
Pour plus d'informations sur cette question, veuillez consulter la réponse à l'article HSM stackexchange https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Par conséquent, j'aimerais savoir comment interpréter le théorème général énoncé par Gauss.
Réponses
La définition des fonctions thêta de Gauss peut s'écrire
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Considérons maintenant le produit de deux fonctions thêta
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Cela peut être réécrit comme une double somme
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Réécrivez ceci en utilisant de nouvelles variables
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
obtenir
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
La double somme $\,S\,$se divise en deux cas. L'un est$\,S_0\,$ où $\,n,m\,$ ont la même parité avec $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ L'autre est $\,S_1\,$ où $\,n,m\,$ ont une parité différente avec $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Réécrire les sommes en tant que produits
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
et
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
Le résultat final est
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Je pense que c'est similaire à ce qu'était la preuve originale de Gauss mais je n'ai aucun moyen de le savoir. Cette approche doit être très ancienne.
Utilisons les variables $q, z$ avec $q=x, y=e^{2iz}$ de sorte que $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ et nous pouvons maintenant transcrire le théorème général de Gauss comme $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (avec $t=e^{2iw}$) comme identité entre les fonctions thêta de Jacobi.
C'est l'une des identités les plus fondamentales entre les fonctions thêta et presque toutes les relations algébriques entre les fonctions thêta peuvent être dérivées en utilisant cela. Vous pouvez consulter cet article sur arXiv pour quelques identités dérivées via ce théorème général de Gauss
La preuve de la même chose peut être donnée en considérant le rapport des côtés gauche et droit et en montrant qu'il s'agit d'une fonction doublement périodique sans pôles. Et c'est donc une constante. Il faut quelques efforts pour montrer que la constante est$1$ mais peut être montré avec quelques manipulations algébriques sur la série correspondant à ces fonctions avec $z=0,w=0$.
Pour le moment, je n'ai pas de preuve algébrique directe de l'identité ci-dessus et je devrai vérifier Jacobi Fundamenta Nova pour voir si Jacobi a fourni une telle preuve. De même, comme vous l'avez remarqué dans votre question, les fonctions Jacobi Theta sont définies pour tous les$z, q$ avec $|q|<1$.