Intuition de savoir pourquoi un voisinage ouvert de l'identité dans un groupe de Lie génère le groupe de Lie entier
Intuition de savoir pourquoi un voisinage ouvert de l'identité dans un groupe de Lie connecté génère le groupe de Lie entier.
edit: Je pense que la preuve standard de cela montre que le sous-groupe généré par tout voisinage ouvert est à la fois un sous-groupe ouvert et fermé de $G$ et ainsi est tout de $G$ depuis $G$est connecté. Quelqu'un peut-il m'expliquer, me donner une explication plus conceptuelle de la raison pour laquelle ce résultat doit être vrai?
Réponses
Permettez-moi de vous présenter une autre preuve, qui me semble plus intuitive - j'espère qu'elle vous aidera. La preuve devrait être claire en elle-même, mais j'ajouterai une explication détaillée de l'intuition à la fin.
Un groupe de Lie connecté est connecté par chemin.
Laisser $U$soyez votre quartier. Jusqu'à prendre$U\cap U^{-1}$, nous pouvons supposer que $U$ est symétrique.
Laisser $\gamma : [0,1]\to G$ être un chemin de $e$ à n'importe quel élément $x$; et pour chaque$t\in[0,1]$, laisser $U_t$ être un intervalle ouvert assez petit de $[0,1]$ contenant $t$ tel que $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$. Ceci est bien sûr possible, car$\gamma(t)U$ est un quartier de $\gamma(t)$.
ensuite $\bigcup_t U_t = [0,1]$ donc par compacité, il y a $0<t_1<...<t_n<1$ tel que $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$.
Mais alors (avec $t_0=0,t_{n+1}=1$), pour chaque $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ doit contenir un élément $s_i$ (Ceci est dû au fait $[0,1]$ est connecté, et j'ai choisi des intervalles).
ensuite $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$.
$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$, et de même, $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$.
Alors $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$. Bien sûr, nous pouvons alors induire$n$ et l'obtenir $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, mais c'est évident: $x\in \langle U\rangle$.
Maintenant, l'intuition derrière cette preuve est que si vous tracez un chemin$e$ à $x$, pour chaque valeur assez petite de $\epsilon$, $\gamma(t)$ et $\gamma(t+\epsilon)$ ne différera que par quelque chose en $U$ (ou $U^{-1}$).
Mais par la compacité de $[0,1]$, la valeur nécessaire de $\epsilon$ est en quelque sorte borné ci-dessous (donc nous obtenons notre partition $t_1<...<t_n$), et cela nous permet de faire des sauts assez grands tout en restant $U$, et donc, finalement, rester dans le sous-groupe généré par $U$ si nous enregistrons simplement les sauts.
Ceci est lié à la façon dont $G$ est un espace «uniforme»: les espaces entre deux éléments peuvent être considérés comme des espaces entre $e$et un autre élément; cela permet donc de réduire beaucoup de questions à des questions locales$e$