"Inverse" $N$-corps problème [fermé]
Il y a un bien connu $N$-problème corporel en mécanique classique: étant donné une position initiale et des vitesses de $N$ particules dans un certain espace, décrivez leur dynamique sur un certain intervalle de temps.
Je suis intéressé par une forme de problème "inverse": supposons que nous sachions qu'il y a $(N+1)$particules dans un certain espace. On nous donne les trajectoires de$N$de ces particules sur un certain intervalle de temps. Le problème est de restaurer la trajectoire du$(N+1)$-ème particule sur le même intervalle de temps.
Le champ de force sous-jacent est supposé connu. Par exemple, nous pouvons supposer que chaque paire de particules est attirée selon la loi du carré inverse.
Quel est le nom généralement accepté correct pour ce problème? Ce problème est-il décrit dans la littérature?
Réponses
Si le système est isolé, alors le centre de masse de ce système se déplace à une vitesse constante (généralement nulle) $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ Si $\mathbf{r}_i(t)$ sont connus de tous $i=1,\ldots,N$, puis $\mathbf{r}_{N+1}(t)$peut être obtenu à partir de cette équation: \ begin {équation} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {équation} Cette équation contient 2 paramètres inconnus : position initiale du centre de gravité$\mathbf{r}_0$ et sa vitesse $\mathbf{v}_c$. Ces paramètres peuvent être (vraisemblablement) obtenus en exigeant que les équations de mouvement tiennent (puisque la loi d'interaction est connue).
MISE À JOUR:
Obtenir $\mathbf{r}_0$ et $\mathbf{v}_c$ à partir des équations du mouvement:
Supposons que l'énergie potentielle est: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Alors l'équation de mouvement pour chaque particule est: $$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Pour la première particule: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Substituer la solution (1) dans l'équation (2) et définir $t=0$ conduit à une équation pour $\mathbf{r}_0$. Bien sûr, l'équation peut être non linéaire et avoir plusieurs solutions.
Après $\mathbf{r}_0$ est trouvé, $\mathbf{v}_c$ peut être obtenu à partir de la même équation (2) pour $t>0$.