L'achèvement de Cauchy est-il la plus grande extension avec la même cocompletion gratuite?
EDIT Le titre a été modifié.
Laisser $C$ être une catégorie, et $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$être sa cocomplétion gratuite. Malgré son nom, la cocomplétion gratuite de la cocomplétion libre n'équivaut pas à la cocomplétion libre en général. À savoir,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Par exemple, prenez$C = \{*\}$. [1].
Il y a une meilleure cocompletion, appelée l' achèvement de Cauchy $\bar{C}$. Si$C$ est petit, alors nous avons $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$
Par le théorème 1 dans [2], il vaut mieux en ce sens que $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ donc $\bar{C}$ est en fait une cocompletion, et aussi que $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ donc $\bar{C}$ fournit quoi $C$besoins sans trop le changer. Après tout, dans de nombreux cas, il vaut mieux voir$C$ comme $\hat{C}$ [3].
Question
Est $\bar{C}$ la plus grande catégorie entre $C$ et $\hat{C}$ dont la cocompletion gratuite est $\hat{C}$? Plus précisément, parmi toutes les catégories$D$ avec $\hat{C} \simeq \hat{D}$ et $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ est $\bar{C}$ l'universel?
Référence
[1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion
[2] Achèvement de Cauchy en théorie des catégories - [Francis Borceux et Dominique Dejean]
[3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549
Réponses
La réponse est positive.
J'ai trouvé un compte rendu publié avec des détails comme les chapitres 6 et 7 du Handbook of Categorical Algebra 1 par Francis Borceux.
Grâce aux commentaires, des liens utiles qui résument comment ça se passe sont
équivalence morita pour les catégories
Équivalence Morita via l'extension Kan
La merveilleuse rédaction de Qiaochu Yuan