L'achèvement de Cauchy est-il la plus grande extension avec la même cocompletion gratuite?

Dec 09 2020

EDIT Le titre a été modifié.


Laisser $C$ être une catégorie, et $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$être sa cocomplétion gratuite. Malgré son nom, la cocomplétion gratuite de la cocomplétion libre n'équivaut pas à la cocomplétion libre en général. À savoir,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Par exemple, prenez$C = \{*\}$. [1].

Il y a une meilleure cocompletion, appelée l' achèvement de Cauchy $\bar{C}$. Si$C$ est petit, alors nous avons $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

Par le théorème 1 dans [2], il vaut mieux en ce sens que $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ donc $\bar{C}$ est en fait une cocompletion, et aussi que $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ donc $\bar{C}$ fournit quoi $C$besoins sans trop le changer. Après tout, dans de nombreux cas, il vaut mieux voir$C$ comme $\hat{C}$ [3].

Question

Est $\bar{C}$ la plus grande catégorie entre $C$ et $\hat{C}$ dont la cocompletion gratuite est $\hat{C}$? Plus précisément, parmi toutes les catégories$D$ avec $\hat{C} \simeq \hat{D}$ et $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ est $\bar{C}$ l'universel?

Référence

  • [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

  • [2] Achèvement de Cauchy en théorie des catégories - [Francis Borceux et Dominique Dejean]

  • [3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

Réponses

3 Student Dec 10 2020 at 16:52

La réponse est positive.

J'ai trouvé un compte rendu publié avec des détails comme les chapitres 6 et 7 du Handbook of Categorical Algebra 1 par Francis Borceux.

Grâce aux commentaires, des liens utiles qui résument comment ça se passe sont

  • équivalence morita pour les catégories

  • Équivalence Morita via l'extension Kan

  • La merveilleuse rédaction de Qiaochu Yuan