L'intégration de $\frac{1}{x(x+1)(x+2)…(x+m)}$ [dupliquer]

Question

Je suis tombé sur cette question, $$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} dx$$

J'ai essayé de diviser la fonction rationnelle en fractions partielles $$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}+...+\frac{Z}{x+m}$$ Je ne sais pas vraiment comment procéder à partir d'ici.

Quelqu'un peut-il m'éclairer avec des explications étape par étape? Je suis un peu confus facilement lorsque certaines étapes sont sautées.

Answer 1

Remarque $$\frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}=\sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k} $$ où $a_k$ sont obtenus comme suit \begin{align} a_k &=\lim_{x\to -k} \frac{x+k}{x(x+1)(x+2)...(x+k)...(x+m)}\\ &= \frac{1}{[(-k)(1-k)(2-k)(-2)(-1)]\cdot[(1)(2)...(m-k-1)(m-k)]}\\ &=\frac1{(-1)^k k!(m-k)!} \end{align} Donc

$$\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} =\int \sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k}dx = \sum_{k =0}^{m} \frac{(-1)^k\ln|x+k|}{k!(m-k)!}+C $$