La classe de tous les ensembles est-elle bien ordonnée? (Au sens large)
J'ai vu la question Bien ordonnées Classes appropriées. et je veux poser la question suivante.
La classe de tous les ensembles est-elle ordonnée linéairement? Je veux dire, supposons que nous utilisons la théorie des ensembles ZFC. (Ou axiome ZFC + Tarski. (1) Au fait, un tel système contient-il des incohérences connues?). Chaque univers est bien ordonné par le théorème de Zermelo.
(2) Mais existe-t-il une classe qui est une bijection entre Ord et Set?
Je pense que cette classe d'univers est ordonnée linéairement. Nous pouvons conserver un ordre sur l'univers inférieur et ajouter un ordre de la différence théorique des ensembles entre l'univers actuel et le précédent. (Qui est également un ensemble parce qu'il appartient à l'univers suivant.) (3) Mes déclarations sont-elles valides?
(4) Comment les poursuivre ou prouver le bon ordre de Set dans l'autre sens?
Tout ce que je veux, c'est prouver d'une manière ou d'une autre qu'il existe un élément "minimal" de chaque classe propre.
Réponses
(1) Presque tous les théoriciens des ensembles croient en la cohérence de l'axiome de ZFC et ZFC + Tarski (ou de manière équivalente, ZFC avec une classe appropriée de cardinaux inaccessibles.) Bien sûr, nous ne pouvons pas prouver sa cohérence en raison du théorème d'incomplétude de Gödel s'ils sont cohérents.
(3) En fait, la collection de tous les univers (Tarski-Grothendieck) est bien ordonnée: ils sont de la forme $V_\kappa$ pour certains inaccessibles $\kappa$, et la classe de tous les inaccessibles est une sous-classe de la classe de tous les ordinaux. Par conséquent, ils sont bien ordonnés. (Notez que si vous entendez un univers simplement un modèle de ZFC, alors ils ne sont pas ordonnés linéairement.)
Cependant, nous ne pouvons pas prouver la classe de tous les ensembles $V$est bien ordonné de ce fait, même si nous avons l'axiome de Tarski. Vous devez choisir un bon ordre à chaque étape, et il faut une classe appropriée de nombreux choix, ce qui n'est justifiable que si nous avons l'axiome du choix global.
(2) La classe de tous les ensembles ordinal-définissables $\mathrm{OD}$ est une image bijective de la classe des ordinaux $\mathrm{Ord}$. En fait, si$X$ est une classe qui est une image bijective de $\mathrm{Ord}$sous une fonction de classe bijective définissable , alors$X\subseteq \mathrm{OD}$. Donc si$V\neq \mathrm{OD}$, alors il n'y a pas de bijection définissable entre $\mathrm{Ord}$ et $V$.
Même si nous abandonnons la définissabilité, il n'y a aucune raison de supposer qu'il existe une bijection entre $\mathrm{Ord}$ et $V$. Voir la réponse pertinente sur Mathoverflow.
(4) On sait qu'ils sont équivalents:
- $V$ a un bon ordre,
- Il y a une bijection de $\mathrm{Ord}$ à $V$, et
- L'axiome du choix global.
Il y a quelques axiomes qui impliquent l'axiome du choix global: par exemple, l' axiome de la constructibilité prouve qu'il existe un bon ordre global canonique. Cependant, le simple ZFC ne prouve pas l'axiome de Global Choice, même si l'on suppose l'axiome de Tarski. Il n'y a donc aucun moyen de prouver le choix global à partir de vos théories.