La continuité et la faible différentiabilité avec une dérivée faible continue impliquent une forte différentiabilité continue?

Question

Laisser $u: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Si$u$ est fortement différentiable (c.-à-d. différentiable au sens classique) avec une dérivée forte $u'$, puis $u$ est également faiblement différentiable et chaque dérivée faible est égale $u'$ presque partout.

Maintenant, supposons $u$ est continue et a une dérivée faible continue: pouvons-nous conclure que $u$ est-il continuellement différenciable au sens fort (c'est-à-dire habituel)?

Answer 1

• Le dérivé faible est unique, donc il n'y a pas de "plusieurs dérivés" (notez que nous ne travaillons pas avec des fonctions , mais plutôt avec des classes de fonctions ).

• Pour votre deuxième question, la réponse est oui. C'est une simple conséquence du théorème fondamental du calcul . De plus, au lieu de dire qu ' "il y a une dérivée faible continue" , nous disons plutôt qu' "il y a un représentant continu de la dérivée" .