La direction de la force centripète dans un mouvement circulaire vertical sous gravité uniforme
Considérez le mouvement circulaire vertical d'une masse ponctuelle reliée au centre par une chaîne rigide. Ici la gravité uniforme$m\vec{g}$ actes.
J'ai illustré la situation dans le diagramme ci-dessous.
Ici, si nous faisons une addition vectorielle de $\vec{T}$ et $m\vec{g}$alors nous obtenons la force centripète d'une direction étrange. Il est censé diriger vers le centre, n'est-ce pas?
Je décomposerai davantage la gravité en composantes radiale et tangentielle. Voir ci-dessous.
Alors qu'est-ce qui arrive à ça $mg \sin \theta$composant? Cela ne dérange-t-il pas le mouvement d'être circulaire?
- Remarque: si j'essaie de rendre la force nette directe vers le centre, je dois délibérément changer la direction de la tension, et cela me semble très étrange car nous considérons un objet confiné par une corde. Alors si on le garde «naturel» (tension vers le centre) peut-on vraiment dire que l'objet subit un mouvement circulaire?
- Une autre question: je comprends que dans cette situation, comme $mg \cos \theta$change la magnitude de la force radiale doit changer, et donc la vitesse de l'objet doit changer. Pensons-nous à cela comme un mouvement circulaire local où pour la vitesse$\vec{v}(t_1)$ à un certain moment $t=t_1$, la force centripète $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ n'est valable que pour l'intervalle de temps infiniment petit $[t, t + dt]$?
- Résumant les deux questions juste au-dessus - nous pouvons considérer quand l'objet est en haut ou en bas. Ensuite, nous n'avons pas à penser aux composantes des forces car elles se trouvent toutes sur la même ligne verticale. Pouvons-nous alors argumenter qu'il s'agit localement d'un mouvement circulaire pour l'intervalle de temps court$[t, t + dt]$?
Réponses
En mouvement circulaire, ce n'est pas toujours le cas que $F_\text{net}=mv^2/r$. Ceci n'est valable que pour un mouvement circulaire uniforme . En général$mv^2/r$est égal à la composante de la force nette qui pointe vers le centre du cercle. Il y a un autre composant que vous devriez considérer: le composant tangent à la trajectoire circulaire.
Pour le mouvement planaire en coordonnées polaires, nous divisons la force nette en deux composantes: centripète (ou radiale) et tangentielle:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
Où $r$ est la distance depuis l'origine, $\theta$est l'angle polaire et un point représente un taux de changement dans le temps. Pour le mouvement circulaire,$r$ est constante, donc pour le mouvement circulaire, la deuxième loi de Newton se réduit à
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
Donc pour votre objet se déplaçant dans le cercle vertical centré à l'origine dans un champ gravitationnel constant, on peut regarder les deux composantes (notez que le négatif est vers l'origine) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$ne change que la direction de la vitesse, puisque cette composante de force est toujours perpendiculaire à la vitesse, et$F_\theta$ne modifie que l' amplitude de la vitesse, puisque cette composante de force est toujours parallèle / anti-parallèle à la vitesse.
L'amplitude de la force nette est alors donnée par $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
Ce qui se réduit à $mv^2/r$ pour un mouvement circulaire uniforme ($\ddot\theta=0$, et $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
Ce qui précède devrait atténuer vos inquiétudes quant au fait que nous ne considérons que le mouvement circulaire local. C'est juste un mouvement circulaire. Pas besoin d'apporter des complications inutiles.
$mg\sin\theta$ne contribue pas à la force centripète, c'est l'accélération tangentielle qui est fournie à la masse m. Il provoque la diminution de la vitesse de la masse lors de la montée et l'augmentation lors de la descente. Ce n'est pas un cas de mouvement circulaire uniforme. En raison de cette complication, nous utilisons généralement le théorème de l'énergie de travail pour résoudre les questions liées à ce sous-thème. De plus, la force centripète n'est pas l'addition vectorielle de la force gravitationnelle et de la tension, c'est la somme des forces qui sont dirigées vers le centre du cercle. Donc la force centripète est égale à la tension +$mg\sin\theta$ lequel est $mv^2/R$.