La fonction de génération simple ne fonctionne pas comme je l'interprète ?

Question

Supposons que nous laissions A être toutes les séquences de zéros et de uns, avec la fonction génératrice$F (z) = 1/(1 − 2z)$.

Supposons maintenant que nous puissions attacher un nombre premier simple ou double à chaque$0$ou$1$, donnant$0′$ou$0′′$ou$1′$ou$1′′$, et nous voulons une fonction génératrice pour le nombre de chaînes de bits amorcées distinctes avec$n$nombres premiers attachés.

L'ensemble {$’$,$’’$} a une fonction génératrice$G(z) = z + z^2$donc l'ensemble composé a une fonction génératrice$$F (G(z)) = 1/(1 − 2(z + z^2 ))= 1/(1 − 2z − 2z^2 )$$

En cela, lorsque j'extrait le coefficient de$z^2$, Je reçois$6$, mais quand je compte à la main, il devrait y avoir$12$. j'ai eu$6$de$1 + 2(z + z^2 )+ 4(z + z^2 )^2$, et le$12$vient de chaque option comme un démarreur ayant deux options pour un secondaire quand$n = 2$.

Je ne comprends pas pourquoi je reçois$6$, parce que quand je compte moi-même, j'obtiens des paires$(0,0’’), (0,1’’), (1,1’’), (1,0’’), (0’ ,0’), (0’ ,1’), (1’ ,1), (1’ ,0), (0’’ ,0), (0’’ ,1), (1’’ ,1), (1’’ ,0)$lequel est$12$

J'interprète peut-être mal ce que le n est censé être? Je pensais que c'était censé être égal au poids du terme donc$z^2$aurait$n=2$?

Ou j'interprète mal ce que compte cette fonction génératrice?

Answer 1

$G(z)$n'est pas le GF pour$\{',''\}$parce qu'ils ne sont pas des nombres ou une séquence.

$G(z)=z+z^2$est le GF pour$a_1=1, a_2=1, a_n=0, n\ge2$.

Votre GF est A002605 ,$a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$.