La séquence (nombre de groupes d'ordre pair $\le n$) / (Nombre de groupes de commande $\leq n$) convergent? Sinon, quels sont ses points de cluster?
J'ai récemment donné un cours de premier cycle sur la théorie des groupes (qui n'est pas entièrement mon domaine d'expertise, donc les questions suivantes pourraient avoir une réponse bien connue dont je ne suis tout simplement pas au courant). Pendant que j'expliquais le concept de solvabilité, j'ai fait une petite digression et j'ai parlé à la classe du théorème d'ordre impair, également connu sous le nom de théorème de Feit-Thompson, qui stipule que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble. J'ai fait la remarque: parmi les groupes finis, la solvabilité est la règle plutôt que l'exception, car la solvabilité est au moins aussi probable que la bizarrerie. Un de mes élèves a demandé: "Donc, si je prends un groupe fini arbitraire, quelle est la probabilité que ce groupe soit d'un ordre impair?" A quoi je ne savais pas de réponse.
Je voudrais donc poser la série suivante de questions connexes:
(1.) If \ begin {équation *} x_ {n} = \ frac {\ # \ text {Isomorphie des classes de groupes d'ordre pair$\leq n$}} {\ # \ text {Classes d'isomorphie des groupes d'ordre $\leq n$}} \ end {equation *} fait la série$x_{n}$converger? Sinon, quels sont ses points de cluster?
(2.) Si $m\in\mathbb{N}$et \ begin {equation *} y_ {n} = \ frac {\ # \ text {Classes d'isomorphie de groupes d'ordre$\leq n$, divisible par $m$}} {\ # \ text {Classes d'isomorphie des groupes d'ordre $\leq n$}} \ end {equation *} fait la série$y_{n}$converger? Sinon, quels sont ses points de cluster?
(3.) If \ begin {equation *} z_ {n} = \ frac {\ # \ text {Classes d'isomorphie de groupes d'ordre résolubles$\leq n$}} {\ # \ text {Classes d'isomorphie des groupes d'ordre $\leq n$}} \ end {equation *} fait la série$z_{n}$converger? Sinon, quels sont ses points de cluster?
Mon intuition simple est que dans les trois cas, la réponse devrait être "oui, ça converge", et elle devrait converger vers $\frac{1}{m}$ dans le cas (2.), et à une valeur $\geq\frac{1}{2}$ dans le cas 3.
Je vous demande pardon à l'avance si les réponses sont bien connues, je ne suis pas un expert en théorie des groupes.
Réponses
Comme mentionné dans les commentaires, de manière conjecturale, presque tous les groupes finis sont $2$-étape nilpotent $2$-groupes, de manière conjecturale, les réponses à 1) et 3) sont que les limites existent et les deux sont égales $1$; c'est-à-dire que presque tous les groupes finis ont un ordre pair et presque tous les groupes finis sont solubles (même nilpotents). Comme preuve numérique de cela, presque tous les premiers$50$ milliards de groupes ont de l'ordre $1024$. La réponse conjecturale à 2) est alors que si$m$ est une puissance de $2$ alors la limite est égale à $1$ et sinon si $m$ a un diviseur impair non trivial alors la limite est égale à $0$.
Il vaut la peine de savoir comme contexte ici qu'un résultat dû à Higman et Sims indique que asymptotiquement le nombre de $p$-groupes d'ordre $p^n$ est $p^{ \frac{2}{27} n^3 + O \left( n^{8/3} \right)}$. La borne inférieure vient du comptage$2$-étape nilpotent $p$-groupes; vous pouvez voir un argument analogue pour les algèbres de Lie nilpotentes ici . Penser ce décompte en fonction de la commande$p^n$ il n'est pas difficile de vérifier qu'il est maximisé, si $p^n$ est limité par un assez grand $N$, en faisant $p$ aussi petit que possible (de manière équivalente, en faisant $n$ aussi grand que possible), ce qui distingue $p = 2$. Il devrait être possible d'écrire un argument heuristique similaire montrant que le décompte des groupes nilpotents (qui sont les produits de leurs sous-groupes Sylow) est dominé par des groupes d'ordre$2^n$ également.