Laisser $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Montrez que le champ de fractionnement de $f$ plus de $\mathbb{Q}$ a le degré 1, 2, 3 ou 6 au-dessus $\mathbb{Q}$.
QUESTION: Laissez$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Montrez que le champ de fractionnement de$f$ plus de $\mathbb{Q}$ a le degré 1, 2, 3 ou 6 au-dessus $\mathbb{Q}$.
Le professeur nous a donné cet indice, mais je ne comprends toujours pas. Je dois résoudre cela étape par étape. En utilisant ses conseils.
ASTUCE: La plus grande difficulté serait de montrer qu'elle ne peut pas être supérieure à 6. Ensuite, il suffit de choisir des valeurs pour$a, b$ et $c$. Essayez de trouver de la part de Galois que l'extension a un degré$\leq n!$. Vous devez trouver des polynômes de cette manière qui ont des champs de division de degrés$1, 2, 3$ et $6$. Et puis montrez que ça ne peut pas être plus grand que ça. Il ne peut pas être supérieur à 6 car cela se produit dans le pire des cas ... Il a une vraie racine qui a un degré$\leq3$ (il existe toujours puisque le polynôme a un degré impair, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires) et un degré complexe (qui peut aussi être réel) de degré $\leq 2$. Puis le degré d'extension$\leq 6$. Nous utilisons le théorème des valeurs intermédiaires car les polynômes de degré impair ont une racine réelle.
J'apprécie vraiment votre aide si vous preniez le temps de m'aider.
Réponses
Nous utilisons un théorème fondamental de la théorie de Galois, que le degré d'une extension de Galois est égal à l'ordre du groupe de Galois de cette extension. Notez que les extensions obtenues en ajoutant les racines d'un polynôme avec des coefficients dans le champ sont automatiquement des extensions de Galois.
La logique est que depuis $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ est un cube, son groupe de Galois (c'est-à-dire le groupe de Galois d'un champ de division) sera un sous-groupe de $S_3$ qui a de l'ordre $6$.
Plus explicitement, laissez $x_1, x_2, x_3$ être les racines (complexes) de $f$. Alors certainement$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$est un champ de fractionnement. Le groupe Galois$G$ est l'ensemble de ces automorphismes de $K$ ce correctif $\mathbb{Q}$, et sont donc déterminés par la façon dont ils agissent sur les racines. Cependant, puisque tout automorphisme corrige$f$, l'image d'une racine sous tout automorphisme est toujours une racine, donc $G$ permute les racines et donc $G$ est un sous-groupe de $S_3$.
Maintenant, la deuxième partie consiste à trouver des polynômes qui ont des groupes de Galois $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ et $S_3$.
$1$ est assez simple: il suffit de prendre le produit de trois polynômes linéaires tels que $(x-1)(x-2)(x-3)$.
Pour $C_2$, vous avez besoin d'un polynôme quadratique avec des racines non rationnelles, par exemple $(x-1)(x^2+1)$.
Pour $S_3$, vous pouvez répéter l'idée dans $C_2$ mais cette fois en donnant une racine non rationnelle à la partie linéaire, par ex. $x^3 -2$.
Obtenir un polynôme avec $C_3$ est peut-être le plus difficile, mais avec un peu d'essais et d'erreurs ou un aperçu supplémentaire sur un objet appelé "le discriminant" $x^3 -3x+1$ est un exemple.
Laisser $L$ être le champ de division de $f$ plus de $\mathbb{Q}$. Depuis$\mathbb{Q}$a la caractéristique zéro, l'extension est séparable, et c'est un champ de fractionnement donc c'est normal. Par conséquent$L/\mathbb{Q}$ est une extension galoisienne.
On sait que le groupe Galois $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ agit fidèlement sur les racines de $f$ dans $L$. Il y a trois de ces racines$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ dis comme ça $G$ peut être considéré comme un groupe de permutations de $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, ce qui en fait un sous-groupe du groupe symétrique $S_3$. Depuis$S_3$ a ordre $6$, il s'ensuit que l'ordre de $G$ se divise $6$, donc c'est $1,2,3$ ou $6$.
C'est un résultat standard de la théorie de Galois que le degré d'une extension de Galois est égal à l'ordre de son groupe de Galois, donc $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ est $1, 2, 3$ ou $6$.
Enfin, le commentaire de Piquito montre que chacune de ces possibilités se produit réellement.