Laisser $x_0$être un nombre transcendant, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Quelle est la limite de $x_n$?

Question

Laisser$x_0$être un nombre transcendant,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Quelle est la limite de$x_{n}$?

Choisir$x_0=\pi$, et il semble que la limite de$x_n$est$-1$. Mais quelle est la preuve de cela$\pi$et d'autres numéros? Laisser$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Ce qui suit peut être utile.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

Laisser$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Si$\lim x_n$existe alors$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, alors fixez$$L=f(L)$$

Il y a trois solutions à cela :$L = -3, -1, 1$. Afin de trouver le bon, notez que pour un petit quartier autour$-3$, vous avez$|f(x)+3|>|x+3|$, et autour$1$, vous avez$|f(x)-1|>|x-1|$. Pour les deux$-3$et$1$, la différence sera encore plus grande. Environ$-1$d'autre part, vous avez$|f(x)+1|<|x+1|$, donc la différence devient plus petite (ce n'est pas une preuve rigoureuse mais plutôt intuitive).

Ainsi, pour "la plupart"$x_0$, il convergera vers$-1$. La seule façon de converger vers$-3$ou$1$est s'il converge exactement en un nombre fini d'itérations. Mais pour que cela soit vrai, il doit y avoir une solution à$$f^n(x_0) = -3$$(ou$1$) pour certains$n$, ce qui signifie qu'il doit être algébrique. Donc, pour tout transcendantal, la limite sera$-1$.