Le nombre de brins de nœuds est-il un invariant?
Question: Le nombre de composants dans un nœud dépend-il de l'enrobage plan particulier?

J'ai étudié comment calculer le nombre de composants ("brins séparés") dans un nœud celtique basé sur la structure de graphe planaire sous-jacente. (Voir la relation entre les nœuds / liens et les graphiques plans ici ).
Apparemment, le calcul des graphiques généraux est un peu compliqué; par exemple, la référence dans cette question indique que pour un uniforme$m\times n$ grille de carrés, le nombre de composants est $\mathrm{lcd}(m,n)$.
Cela me satisferait de trouver une formule pour calculer le nombre de composants ("brins"), ou une relation entre le nombre de brins et diverses propriétés du graphe telles que son degré, son spectre, etc., même si ces propriétés étaient difficiles à calculer .
Une approche que j'ai adoptée est en termes de composants connectés: chaque brin séparé suit une trajectoire particulière, et les composants connectés de ces trajectoires correspondent exactement aux brins. Vous pouvez définir la trajectoire comme un mappage de fonction de transition (une structure supplémentaire plus) chaque arête à son successeur; il s'agit d'une permutation sur des arêtes (structurées) dont les cycles sont les composantes.
La fonction de transition peut être codée sous la forme de son propre graphe orienté dérivé (semblable à une carte codée par graphe ), dont les composants connectés sont les composants du nœud. De l'algèbre linéaire, nous savons que le nombre de composants connectés peut être récupéré comme la multiplicité de la valeur propre nulle du laplacien de la matrice d'adjacence.
Cependant, je sais que le même graphique $G$peut avoir plusieurs plongements planaires non isomorphes (c'est-à-dire dont les duals ne sont pas isomorphes). Jusqu'à présent, dans mon expérience, cela a changé certaines des propriétés de nouage (telles que le nombre de torsions dans chaque composant) mais pas le nombre de composants:

Ma question est la suivante:
Question: Le nombre de composants dans un travail de nœuds dépend-il de l'encastrement plan particulier? Comment le prouver?
Mon intuition dit que le nombre de composants est un invariant, mais je n'ai pas été en mesure de produire un contre-exemple ou une preuve en utilisant mon approche ci-dessus.
Conjecture: si $G$ est un graphique, alors le nœud correspondant a $c$ composants, où
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
et $T_G$ est le polynôme de Tutte, et $|E(G)|$est le nombre d'arêtes dans le graphique. (?)
Réponses
Laisser $D$être le schéma d'un lien. Par exemple,$D$pourrait être le diagramme du noeud celtique ou du lien illustré dans votre message. Laisser$G$ être le graphique en damier de $D$. Le graphique$G$ est le graphique décrit dans votre premier point.
Réponse: Le nombre de composants de$D$ est déterminé par le graphe abstrait $G$ et ne dépend pas de la façon dont $G$ est intégré dans l'avion.
À ma connaissance, cela a été prouvé pour la première fois par Michel Las Vergnas en 1979. Il a montré que le nombre de composants de $D$ est déterminé par l'évaluation polynomiale de Tutte $T_G(-1,-1)$. Puisque le polynôme de Tutte ne dépend pas d'une incorporation particulière de$G$, le résultat suit. La référence de cet article est
- Las Vergnas, Michel. Sur les partitions eulériennes des graphes . Théorie des graphes et combinatoire (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), pp. 62–75, Res. Notes in Math., 34, Pitman, Boston, Mass.-Londres, 1979.
Je n'ai pas pu facilement trouver une copie de l'article ci-dessus, alors voici une autre façon d'obtenir la solution, grâce à Dan Silver et Susan Williams ( lien arXiv ). Ils définissent une matrice$Q_2(G)$ dont les entrées sont dans le champ avec deux éléments $\mathbb{F}_2$comme suit. Les lignes et les colonnes de la matrice sont indexées par les sommets$v_1,\dots,v_n$ de $G$. Si$i\neq j$, puis le $ij$ entrée de $Q_2(G)$ est le nombre d'arêtes entre les sommets $v_i$ et $v_j$ (pris$\mod 2$). La$ii$ entrée de $Q_2(G)$ est la somme des autres entrées de la ligne $i$ (à nouveau pris$\mod 2$). De manière équivalente, nous pourrions dire$ii$ entrée dans $Q_2(G)$ est la somme des autres entrées de la colonne $i$.
Dans le théorème 1.1 de l'article lié, ils prouvent que le nombre de composants de $D$ égale la nullité de $Q_2(G)$. Ils notent dans la remarque 1.2 que cela implique le nombre de composants de$D$ est indépendant de l'incorporation plane de $G$.
Edit: Je n'ai pas accès à l'article de Las Vergnas, mais je peux donner une autre explication du résultat en utilisant le polynôme de Tutte et le polynôme de Jones.
Laisser $L$ être un lien alternatif, laissez $D$ être un diagramme alterné du lien, et soit $G$ être le graphique en damier de $D$. Puis le polynôme de Tutte$T_G(x,y)$ de $G$ et le polynôme de Jones $V_L(t)$ de $L$ sont liés comme suit: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ pour la fonction $f_D(T)$ Défini par $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ où $w(D)$ est le tour de force de $D$, $|E|$ est le nombre d'arêtes dans $G$, et $|V|$ est le nombre de sommets de $D$. Remarquerez que$|f_D(1)|=1$, Et ainsi $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.
Le polynôme de Jones satisfait la relation d'écheveau $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ où $L_+,L_-,$ et $L_0$ sont comme ci-dessous.

Réglage $t=1$ dans la relation d'écheveau ci-dessus donne $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. En d'autres termes, le polynôme de Jones évalué à$t=1$ ne change pas sous les changements de croisement, et donc $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ où $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ est le lien trivial avec le même nombre de composants que $L$. Le polynôme de Jones de$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ est $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ où $m$ est le nombre de composants de $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. Donc$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
Le cas ci-dessus gère quand $L$est en alternance. Si$L$est non alterné, puis procédez comme suit. Laisser$D$ être n'importe quel diagramme de $L$. Définir$D_{\text{alt}}$ être un diagramme avec la même ombre que $D$ mais dont les croisements sont modifiés pour être alternés, et définissent $L_{\text{alt}}$ être le lien dont le diagramme est $D_{\text{alt}}$. Notez que$D$ et $D_{\text{alt}}$ avoir le même graphique en damier $G$. L'argument ci-dessus implique que$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ où $m$ est le nombre de composants de $L_{\text{alt}}$. Puisque$L_{\text{alt}}$ et $L$ ont le même nombre de composants, le résultat suit pour $L$ ainsi que.