Le rapport de l'aire de deux polygones réguliers
Les polygones de la figure ci-dessous sont tous des polygones réguliers (heptagone régulier), partagent un sommet et la ligne orange croise les trois sommets des deux polygones réguliers, l'aire du petit polygone régulier et du grand polygone régulier est notée $S_1$, $S_2$, quel est $\frac{S_1}{S_2}$?
Question supplémentaire (polygone régulier à neuf côtés)
Réponses
Je ne vais pas faire le calcul, mais c'est l'idée.
Premier depuis $\triangle ADE$ et $\triangle BDF$ sont similaires, nous savons $AE$ traverser $G$.
Maintenant nous pouvons calculer $DG$,$GC$,$AG$ basé sur l'heptagone gauche et depuis $AD\parallel CE$ nous pouvons calculer $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Nous savons aussi$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.
Par conséquent $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.
Si vous laissez $a=DG,b=DA,c=DB$, il y a une identité ici
En utilisant l'identité, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$
Nouvelle modification: vient de se réaliser $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ alors $GE$ est en fait juste $b$.
Maintenant, le calcul est vraiment simple:
$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$
La superficie est donc exactement deux fois.
Solution à part $2$ (problème supplémentaire):
Laisser $I$ être le point où $AD$ intersecter le cercle $O$ de $\triangle ABC$. Relier$IO$. Depuis$AI$ est une bissectrice $BI=CI$.
Il est facile de voir le trapèze $BDEC$ est symétrique par rapport à $IO$. en outre$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ alors $\angle IBD=50^{\circ}$.
Maintenant, laisse $\angle IDB=x$. Avec le tracé d'angle utilisant les informations ci-dessus, nous trouvons$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.
Si $ID>DB=DE$, ensuite nous avons $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ et $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ alors $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ ce qui est impossible.
Si $ID<DB=DE$, ensuite nous avons $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ et $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ alors $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ ce qui est impossible.
Par conséquent $ID=DB=DE$ et $\triangle IDE$ est équilatéral, donc $\angle IDE=60^{\circ}$ et $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Par conséquent$BD \perp AC$.
($N$ est juste $C$ ré-étiqueté)
Le reste est simple une fois $BD\perp AC$. Nous pouvons trouver$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.
Depuis $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ et le rapport de surface est exactement $3$.