Le rho zéro de Spearman implique-t-il une covariance nulle?
À la question du titre, je répondrais "intuitivement" oui, par l'argument informel suivant: La
covariance "mesure la force de l'association linéaire" (lorsqu'elle est mise à l'échelle par le produit des écarts-types) entre deux variables, tandis que le rho de Spearman "mesure la force d'association monotone. "
L'association linéaire est un sous-ensemble d'association monotone (n'est-ce pas?), Par conséquent, lorsque la mesure de l'association monotone est égale à zéro, la mesure d'association linéaire doit également être nulle.
Mais j'ai appris ma leçon (et donc je ne suis pas une menace pour la société) sur les arguments "intuitifs" faciles dans Statistics. Et mes tentatives pour examiner formellement cette conjecture n'ont pas été fructueuses jusqu'à présent.
Donc: un rho de Spearman nul implique-t-il une covariance nulle?
Pouvons-nous le prouver formellement, ou le réfuter même par un contre-exemple?
MISE À JOUR
Cet article fournit également des exemples d'une telle relation
Réponses
Contre-exemple:
X Y
1 500
2 1
3 2
4 3
5 4
Pour ces valeurs,
- Pearson $r \approx -0.70$
- Lancier $\rho = 0$
Cette seule grande valeur Y affecte la covariance beaucoup plus qu'elle n'affecte le coefficient de corrélation de rang de Spearman.
Non. Facile de voir pourquoi. Le cas d'utilisation de la corrélation de rang est lorsque nous ne sommes pas satisfaits de la corrélation de Pearson, par exemple avec sa propension à tomber pour des valeurs aberrantes. Par conséquent, la corrélation de Spearman ne devrait clairement pas correspondre aux résultats de corrélation de Pearson.
Parfois, une corrélation zéro de Spearman coïncide avec une corrélation de Pearson nulle et par conséquent une covariance nulle, mais ce n'est pas un cas général.