Les cosets gauches de $H$ dans $G$ cloison $G$

Jan 06 2021

Laisser $G$ être un groupe et $H$un sous-groupe. Puis les cosets gauches de$H$ dans $G$ cloison $G$. En particulier,$(1)$ chaque $a$ ∈ G est dans exactement un coset gauche, à savoir $aH$, et $(2)$ si $a, b \in G$, alors soit $aH = bH$ ou $aH \cap bH = \emptyset $.

La partie $(2)$est fait. Mon problème est en partie$(1)$, J'ai essayé mais pas vraiment sûr:

Laisser $a\in G$, nous avons ça $e\in H$, donc $a\in aH$, puisque $a=ae$. Cela montre que$a$ se trouve dans un coset gauche, à savoir $aH$.

Maintenant si $a\in aH$ et $a\in bH$, nous avons ça $a=ae=abh$, donc $bh=e$ Et ainsi $a$ réside dans exactement un coset gauche.

Ai-je raison?

Réponses

2 SaikaiPrime Jan 06 2021 at 07:12

En supposant que vous ayez prouvé (2) je procède:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Pour $a,b \in G$ prouve-le $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Pour $a,b \in G$ prouve-le $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Alors les conditions suivantes sont équivalentes: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Puisque $e \in H, a=ae \in aH$. Laisser$a \in bH$. ensuite$aH=bH$. Donc$a$ appartient à exactement un coset gauche.